Inecuaciones

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x)  g(x), f(x) > g(x) o f(x)  g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

ejemplos

1x2 − 6x + 8 > 0

x2 − 6x + 8 > 0

x2 − 6x + 8 = 0

P(0) = 02 − 6 • 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 • 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 • 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = (-∞, 2) (4, ∞)

2x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero.

S =

Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan inecuaciones de la forma

La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma

Procedimiento en el método gráfico

1. Se factoriza el polinomio

2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo

3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado

4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor

5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior

6. Se trazan rectas

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