Integral De Una Funcion

Integral de una función

Definición

Al diferir las primitivas de una misma función f en una constante sólamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

A este valor se le denomina integral de f entre a y b .

La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: este es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebráica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las x.

Integración por partes

cuando no se conoce la primitiva de una función, se puede recurrir a la propiedad siguiente, llamada integración por partes, para calcular una integral:

en esta fórmula u y v son funciones derivables y de derivadas u' y v' continuas (o al menos integrables). El corchete es una escritura abrevada de una diferencia: con F una función definida sobre [a;b].

Por ejemplo busquemos la integral : La función u(t) = t tiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = et es su propia derivada: v'(t) = v(t). Entonces, aplicando la fórmula se obtiene:

.

De paso hemos obtenido que x → xex - x es una primitiva de x → xex, lo que no se sabía de antemano: La integración por partes permite hallar primitivas de una función dada.

Cálculo aproximativo de una integral

Cuando no se ha logrado encontrar la primitiva de una función , queda siempre la posibilidad de contentarse con un cálculo aproximativo. el método más sencillo consiste en remplazar el área cuya superficie se quiere medir por unos rectángulos adyacientes "de pie" de misma anchura h y de altura dada por la función que se quiere integrar. En la figura de la izquierda, los rectángulos tienen como alturas f(0), f(0,5), f(1) ... f(3), como anchura común 0,5, y la suma de sus superficies, 0,5 × (f(0) + f(0,5) + ... + f(3)) es una aproximación de .

Propiedades de la integración

Linealidad

• El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

• De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

• De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

• Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquí resulta que

• Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

• Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

• Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son también Riemann integrables, y

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de

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