La matriz de clasificación

MATRICES

Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

TIPOS

MATRIZ FILA

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

MATRIZ COLUMNA

La matriz columna tiene una sola columna

MATRIZ RECTANGULAR

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

MATRIZ NULA

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

MATRIZ ESCALAR

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

MATRIZ REGULAR

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

MATRIZ SINGULAR

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

MATRIZ IDEMPOTENTE

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

MATRIZ INVOLUTIVA

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

MATRIZ ORTOGONAL

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A•At = I.

OPERACIONES

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición

Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria tal que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea

No es necesaria que las matrices sean cuadradas:

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

o Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

• Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados,

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