Los espacios vectoriales

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Objetivo del trabajo

Dar conocer las funciones que preservan estructuras algebraicas de espacios vectoriales: las transformaciones lineales o aplicaciones lineales, que son gran utilidad en la práctica.

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función T : V  W

tal que:

T(x+y) = T(x)+T(y)

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

Sea f: VW una transformación lineal de un e.v. V, en un e.v W. El núcleo de f, (Nf), es el subconjunto del e.v. V que consta de todos los elementos u de V tales que: f(u)=0w. Esto quiere decir que la imágenes de los vectores de V es el vector nulo de e.v. W.

En forma matematica el Nucleo es igual a:

Nf= {U € e.v V de salida / f (u) = 0w), donde 0w es el vector nulo del e.v. de llegada W.

El nucleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0v, o solo el vector nulo.

Imagen o recorrido de una transformación lineal:

Sea f: V  W es una T.L de un e.v V en un e.v W, entonces el recorrido de f o imagen de V bajo f, denota por Img f, consta de todos aquellos vectores en W (e.v de llegada) que son imágenes bajo f de vectores en V. Es decir v está en Img f si podemos hallar algún vector u en V tal que f(u)=w.

5.3.- LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V  W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.

Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

Ejemplo :

 Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) ¿ Matriz A?

Transformado de (1, 0) = (1, 0)

Transformado de (0, 1) = (0, -1)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

b) ¿ Matriz B?

Transformado de (1, 0) = (-1, 0)

Transformado de (0, 1) = (0, -1)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

 Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5  P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)

Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)

Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0,

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