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1.f(x)= (x+5)/√(1-√(x-2)) halle el dominio

La función f(x) es el cociente de dos funciones. La cantidad subradical 1-√(x-2) debe ser estrictamente mayor que cero.

1-√(x-2) >0

(-1) -√(x-2)>-1 (-1)

(√(x-2))^2<(1)^2

x-2<1

x<3⟹(-∞,3)

Pero a su vez, hay que tener en cuenta que √(x-2) debe ser mayor o igual a cero

√(x-2)≥0

〖√(x-2)〗^2≥(0)^2

x-2≥0

x≥2 ⟹[2,├ ∞)┤

El dominio estaría definido en la intersección de los intervalos (-∞,3)∩ [2,├ ∞)┤, luego la solución sería el intervalo [2,├ 3)┤, es decir el dominio de la función

f(x)=(x+5)/√(1-√(x-2)) seria [2,├ 3)┤

2.rango de g(x)=x/(x^2+x+4)

derivado g(x)= (x^2+x+4-(2x+1)x)/(x^2+x+4)^2 =(〖-x〗^2+4)/(x^2+x+4)^2

igualdad a 0 y despejando x:

(〖-x〗^2+4)/(x^2+x+4)^2 =0 ⟹〖-x〗^2+4=0⟹x=±2

reemplazando x=±⟹g(x)⟶g(2)=2/(4+2+4)=2/10=1/5⟶maximo

g(-2)=(-2)/(4-2+4)=(-2)/6=(-1)/3⟶minimo

el rango seria el intervalo [-1⁄3,1⁄5]

3. f(x)=√(x+1) g(x)=x^2+1

a) f-g= √(x+1)-(x^2+1)=√(x+1)-x^2-1

b) f+g= √(x+1)+(x^2+1)= √(x+1)+x^2+1

c) (f o g)=f(g(x))=√((x^2+1)+1)=√(x^2+2)

d) 〖(f o g)〗_3=√(x^2+2)=√((3)^2+2)=√11

4. f(x)=4x^2-1 g(x)=√x

a) f+g= 〖4x〗^2-1+√x=4x^2+√x-1

b) f-g=4x^2-1-(√x)=4x^2-√x-1

c) 〖(f o g)〗_((1))=f(g(x))=4〖(√x)〗^2-1=4x-1=4(1)-1=4-1=3

d) (g o f)_2=g(f(x))=√(4x^2-1)=√(4〖(2)〗^2-1)=√(4(4)-1)=√(16-1)=√15

5. 1/(〖cot〗^2 x)+1/(senx cscx)=〖sec〗^2 x

1/(〖cot〗^2 x)+1/(senx.1/senx)=〖sec〗^2 x

1/(〖cot〗^2 x)+1=〖sec〗^2 x

〖tan〗^2 x+1=〖sec〗^2 x

〖tan〗^2

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