Probabilidad
Enviado por • 12 de Septiembre de 2012 • 3.759 Palabras (16 Páginas) • 725 Visitas
EJERCICIOS DEL GRUPO TERMINADO EN EL DIGITO (0)
1.- Michael y Robert son dos turistas ingleses que han viajado al Perú a conocer una de las siete maravillas del mundo. Después de visitar Machu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidas típicas que se ofrecen en el restaurante El último Inca. A Carlos, el sobrino del dueño, se le ha encomendado la tarea de observar que platos típicos comerán los dos turistas. La lista de platos es la siguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy con papas, Guiso de alpaca. Suponiendo que cada turista pedirá solo un plato, responda a las siguientes preguntas acerca de lo observado por Carlos.
a) ¿Cuál es el espacio muestra del experimento?
b) En qué consiste el evento: A: Los dos turistas comen el mismo plato.
B: Los dos turistas comen platos diferentes. C: Ninguno de los dos come Trucha con papas fritas
c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
A´ B´ Ç C´ A È C A Ç B Ç C
(A Ç B´) È C ´ (A´ È B´) Ç (A´ Ç C)
SOLUCION
Para poder desarrollar el ejercicio voy a asignar un número a cada plato.
TURISTAS
Michael
Robert
LISTA DE PLATOS
Trucha con papas fritas 1
Milanesa de Alpaca 2
Cuy con papas 3
Guiso de Alpaca 4
a) El espacio muestral del experimento es 24
Consta de 16 eventos o sucesos y es el siguiente:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),
= (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)
b) En que consiste El Evento A Los dos turistas comen del mismo plato:
Rta: Consiste en lo siguiente: Consta de 4 eventos.
A= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
El evento B: Los dos turistas comen platos diferentes.
Consta de 12 eventos
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
B = (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),
El evento C: Ninguno de los dos comen Trucha con papas fritas.
Consta de 9 eventos
C= (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)
c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
A´
A´ Son todos los elementos que no están en A
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
A´ = (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),
B´ Ç C´
Lo primero que hago es sacar el complemento a cada uno.
B´ Son todos los elementos que no están en B
B´ = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
C´ Son todos lo elementos que no están en C
C´ = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (3,1), (4,1),
B´ Ç C´= (1,1)
A È C
A È C = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2),
(4,3), (4,4)
A Ç B Ç C
Primero debo hacer la intersección entre A y B
A Ç B= 0 Es un conjunto vacío no hay intersección.
A Ç B Ç C = 0
Como la intersección entre A y B es vacía entonces el result
ado de la intersección entre B y C también será vacía. Por lo tanto se le llamaran excluyentes.
A Ç B Ç C = 0
( A Ç B´) È C ´
( A Ç B´)= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
( A Ç B´) È C ´= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3),
(1,4) (2,1), (3,1), (4,1),
(A´ È B´ ) Ç ( A´ Ç C )
(A´ È B´ )= (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2),
(4,3), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
( A´ Ç C )= (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)
(A´ È B´ ) Ç ( A´ Ç C )= (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)
2.- Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?
SOLUCION
• Las estaciones de origen y destino no pueden coincidir.
• Hay una estación de origen y una de destino.
• No sabemos si la estación de origen y destino es al principio o al final del trayecto. Ahí es importante el orden.
Y la solución es la siguiente:
3.- a) A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si:
• Todos son elegibles;
• un físico particular ha de estar en esa comisión;
• dos matemáticos concretos no pueden estar juntos?
SOLUCION
1. Puesto que todos son elegibles, existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y C7;3 = 35 grupos de 3 físicos. Luego hay un total de 10 ¢ 35 = 350 comisiones posibles.
2. Se fija uno de los físicos, luego existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y C6;2 = 15 grupos de 3 físicos. Así, se pueden formar 10 ¢ 15 = 150 comisiones.
3. Se excluye la única posibilidad de que el subgrupo de dos matemáticos lo constituyan los dos que no pueden estar juntos, por lo que hay C5;2 ¡1 = 9 grupos de 2 matemáticos cumpliendo la condición. Adamas hay C7;3 = 7 ¢ 6 ¢ 5= (3 ¢ 2) = 35 grupos de 3 físicos, por lo que el total de comisiones que pueden formarse es 9 ¢ 35 = 315.
4.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
A 32 personas les gusta leer y ver la tele;
A 92 personas les gusta leer.
A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
SOLUCION
n=120
nA=92
nB=47
n(A Y B)=32
a) P(no B)=(120-47)/120=0.6083333333333333333333…
b) P(A/B)=P(A Y/PB)/P(B)=(32/120)/(47/120)=32/47=0.6808
c) 92/120=0.766666666666666666666666666…
5.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 vieron la película, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
SOLUCION
DEBATE NO DEBATE
PELICULA 1450 650 2100
NO PELICULA 50 350 400
1500 1000 2500
Llamamos D = "Vio el debate" y P = "Vio la película".
7.- A una rata se le permite escoja al azar uno de 5 laberintos diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en 3 minutos son 10%, 10%, 20%, 30% y 50% respectivamente y la rata escapa en 3 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?
SOLUCION
8.- Se supone que una cierta prueba detecta cáncer con probabilidad del 80% entre gente que padece cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que tiene cáncer un 10% de ellas. Suponiendo que el
5% de la gente de la Población de prueba padece cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar índica que tiene cáncer, ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?
SOLUCION
• Definimos la variable X = "estado de salud", con los valores X = S (sano) y X = E (enfermo de cáncer), y la variable Y = "resultado de la prueba" con los valores Y = SI (la prueba indica que la persona padece cáncer) e Y = NO (la prueba indica que la persona no padece cáncer).
De los datos proporcionados deducimos las siguientes probabilidades:
P(Y = SI / X = E) = 0,80
P(Y = NO / X = E) = 0,20
P(Y = SI / X = S) = 0,10
P(Y = NO / X = S) = 0,90
P(X = E) = 0,05
P(X = S) = 0,95
Se pide la probabilidad P(X = E / Y = SI)
Aplicando el teorema de Bayes resulta
P(X = E / Y = SI) =
P(X = E) P(Y = SI / X = E) / P(Y = SI) =
P(X = E) P(Y = SI / X = E) / [P(X = E) P(Y = SI / X = E) + P(X = S) P(Y = SI / X = S)] =
0,05 * 0,80 / (0,05 * 0,80 + 0,95 * 0,10) = 0,04 / 0,135 = 0,296 = 29,6%
EJERCICIOS DEL GRUPO TERMINADO EN EL DIGITO (0)
1.- Michael y Robert son dos turistas ingleses que han viajado al Perú a conocer una de las siete maravillas del mundo. Después de visitar Machu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidas típicas que se ofrecen en el restaurante El último Inca. A Carlos, el sobrino del dueño, se le ha encomendado la tarea de observar que platos típicos comerán los dos turistas. La lista de platos es la siguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy con papas, Guiso de alpaca. Suponiendo que cada turista pedirá solo un plato, responda a las siguientes preguntas acerca de lo observado por Carlos.
a) ¿Cuál es el espacio muestra del experimento?
b) En qué consiste el evento: A: Los dos turistas comen el mismo plato.
B: Los dos turistas comen platos diferentes. C: Ninguno de los dos come Trucha con papas fritas
c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
A´ B´ Ç C´ A È C A Ç B Ç C
(A Ç B´) È C ´ (A´ È B´) Ç (A´ Ç C)
SOLUCION
Para poder desarrollar el ejercicio voy a asignar un número a cada plato.
TURISTAS
Michael
Robert
LISTA DE PLATOS
Trucha con papas fritas 1
Milanesa de Alpaca 2
Cuy con papas 3
Guiso de Alpaca 4
a) El espacio muestral del experimento es 24
Consta de 16 eventos o sucesos y es el siguiente:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),
= (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)
b) En que consiste El Evento A Los dos turistas comen del mismo plato:
Rta: Consiste en lo siguiente: Consta de 4 eventos.
A= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
El evento B: Los dos turistas comen platos diferentes.
Consta de 12 eventos
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
B = (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),
El evento C: Ninguno de los dos comen Trucha con papas fritas.
Consta de 9 eventos
C= (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)
c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
A´
A´ Son todos los elementos que no están en A
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
A´ = (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),
B´ Ç C´
Lo primero que hago es sacar el complemento a cada uno.
B´ Son todos los elementos que no están en B
B´ = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
C´ Son todos lo elementos que no están en C
C´ = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (3,1), (4,1),
B´ Ç C´= (1,1)
A È C
A È C = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2),
(4,3), (4,4)
A Ç B Ç C
Primero debo hacer la intersección entre A y B
A Ç B= 0 Es un conjunto vacío no hay intersección.
A Ç B Ç C = 0
Como la intersección entre A y B es vacía entonces el result
ado de la intersección entre B y C también será vacía. Por lo tanto se le llamaran excluyentes.
A Ç B Ç C = 0
( A Ç B´) È C ´
( A Ç B´)= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
( A Ç B´) È C ´= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3),
(1,4) (2,1), (3,1), (4,1),
(A´ È B´ ) Ç ( A´ Ç C )
(A´ È B´ )= (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2),
(4,3), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
( A´ Ç C )= (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)
(A´ È B´ ) Ç ( A´ Ç C )= (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)
2.- Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?
SOLUCION
• Las estaciones de origen y destino no pueden coincidir.
• Hay una estación de origen y una de destino.
• No sabemos si la estación de origen y destino es al principio o al final del trayecto. Ahí es importante el orden.
Y la solución es la siguiente:
3.- a) A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si:
• Todos son elegibles;
• un físico particular ha de estar en esa comisión;
• dos matemáticos concretos no pueden estar juntos?
SOLUCION
1. Puesto que todos son elegibles, existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y C7;3 = 35 grupos de 3 físicos. Luego hay un total de 10 ¢ 35 = 350 comisiones posibles.
2. Se fija uno de los físicos, luego existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y C6;2 = 15 grupos de 3 físicos. Así, se pueden formar 10 ¢ 15 = 150 comisiones.
3. Se excluye la única posibilidad de que el subgrupo de dos matemáticos lo constituyan los dos que no pueden estar juntos, por lo que hay C5;2 ¡1 = 9 grupos de 2 matemáticos cumpliendo la condición. Adamas hay C7;3 = 7 ¢ 6 ¢ 5= (3 ¢ 2) = 35 grupos de 3 físicos, por lo que el total de comisiones que pueden formarse es 9 ¢ 35 = 315.
4.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
A 32 personas les gusta leer y ver la tele;
A 92 personas les gusta leer.
A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
SOLUCION
n=120
nA=92
nB=47
n(A Y B)=32
a) P(no B)=(120-47)/120=0.6083333333333333333333…
b) P(A/B)=P(A Y/PB)/P(B)=(32/120)/(47/120)=32/47=0.6808
c) 92/120=0.766666666666666666666666666…
5.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 vieron la película, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
SOLUCION
DEBATE NO DEBATE
PELICULA 1450 650 2100
NO PELICULA 50 350 400
1500 1000 2500
Llamamos D = "Vio el debate" y P = "Vio la película".
7.- A una rata se le permite escoja al azar uno de 5 laberintos diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en 3 minutos son 10%, 10%, 20%, 30% y 50% respectivamente y la rata escapa en 3 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?
SOLUCION
8.- Se supone que una cierta prueba detecta cáncer con probabilidad del 80% entre gente que padece cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que tiene cáncer un 10% de ellas. Suponiendo que el
5% de la gente de la Población de prueba padece cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar índica que tiene cáncer, ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?
SOLUCION
• Definimos la variable X = "estado de salud", con los valores X = S (sano) y X = E (enfermo de cáncer), y la variable Y = "resultado de la prueba" con los valores Y = SI (la prueba indica que la persona padece cáncer) e Y = NO (la prueba indica que la persona no padece cáncer).
De los datos proporcionados deducimos las siguientes probabilidades:
P(Y = SI / X = E) = 0,80
P(Y = NO / X = E) = 0,20
P(Y = SI / X = S) = 0,10
P(Y = NO / X = S) = 0,90
P(X = E) = 0,05
P(X = S) = 0,95
Se pide la probabilidad P(X = E / Y = SI)
Aplicando el teorema de Bayes resulta
P(X = E / Y = SI) =
P(X = E) P(Y = SI / X = E) / P(Y = SI) =
P(X = E) P(Y = SI / X = E) / [P(X = E) P(Y = SI / X = E) + P(X = S) P(Y = SI / X = S)] =
0,05 * 0,80 / (0,05 * 0,80 + 0,95 * 0,10) = 0,04 / 0,135 = 0,296 = 29,6%
...