Probabilidades

Ejercicios Resueltos de Estadística:

Tema 3: Cálculo de Probabilidades

1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el

número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.

SOLUCIÓN:

El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución

binomial de parámetros B(20;0,6). El número mas probable de caras es

20 ⋅ 0,6 − 0,4 ≤ m ≤ 20 ⋅ 0,6 + 0,6⇒11,6 ≤ m ≤ 12,6 . Luego el número mas probable de

caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:

0,0022 0,0007 0,0202

12!8!

0,6 0,4 20!

12

( 12) 20 12 8 ⋅ ⋅ =

⋅

= ⋅ ⋅ 







P X = = 

2. Sabiendo que P(AIB) = 0,6)y que la de la P(AIB =0,2), se pide calcular la

probabilidad de A.

SOLUCIÓN:

P(A)= P[(AIB)U(AIB )]= P(AIB) + P(AIB )=0,6+0,2=0,8

3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables

aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del

70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?

SOLUCIÓN:

Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. La probabilidad de

que solo suba una de ellas será:

p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A;

que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad

de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de A. 2) ¿Qué suceso es

más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.

SOLUCIÓN:

1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[AUB] = 0,2 y P[AIB] = 0,1

P[AUB] = P(A)+P(B)- P (AIB))=x+2x-0,1=3x-0,1

P[AUB] = 3x – 0,1=0,2. despejando x=1

Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2.

2) Las probabilidades condicionadas serían:

P(A/B)= 0,5;

0,2

0,1

( )

( )

= =

P B

P AIB P(B/A)= 1

0,1

0,1

( )

( )

= =

P A

P AIB

Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo

que ha ocurrido B.

5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que

al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las

monedas están bien construidas.

SOLUCIÓN:

Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera

moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:

P[(C I X ) U (XIC)] = 0,4⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54

Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por

tanto: P[(C I X ) U (XIC)] = 0,5⋅ 0,5 + 0,5⋅ 0,5 = 0,5

6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A

produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:

1) Probabilidad de que sea defectuosa.

2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

SOLUCIÓN:

Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A}

MB = {la pieza procede de la maquina B}

Entonces Ω = {300 piezas} = MA + MB

3

Ρ(Μ ) = 1 Α

3

Ρ(Μ ) = 2 Β

1) Sea D = {la pieza defectuosa}

0,0567

3

(0,06) 2

3

Ρ( ) = ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( ) = (0,05) ⋅ 1 + ⋅ = A A B B D P D M P M P D M P M

2) Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D

0,2941

0,0567

3

(0,05) 1

( / ) ( ) ( / ) ( )

( / ) ( )

( / ) =

⋅

=

⋅ + ⋅

⋅

=

A A B B

A A

A P D M P M P D M P M

P M D P D M P M

7. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La

primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de

que la segunda sea roja.

SOLUCIÓN:

Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la

segunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose tres urnas

distintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera bola procede de una de

estas tres posibles urnas.

Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido roja ,

equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U3.

7

4

2

1

7

2

4

1

7

2

4

1

7

1

2

1

7

2

( / ) ( )

( / ) ( )

( / ) 3

1

3 3

3 =

⋅ + ⋅ + ⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

Σ=

I

i i P B U P U

P U B P B U P U

8. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el

suplente solo para 5. el portero suplente juega, por termino medio, 15 minutos en cada

partido (90 minutos).

a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad

de que se paren los tres?

b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es la probabilidad de que estuviera

jugando el portero titular?

SOLUCIÓN:

Se consideran los sucesos:

P= el portero para un penalti

T= juega el portero titular

S= juega el portero suplente (S=Tc)

Con probabilidades:

6

5

6

, ( ) 1 ( ) 1 1

6

1

90

P(S) = 15 = P T = − P S = − =

5

1

5

, ( / ) 1 4

5

4

10

P(P /T) = 8 = P PC T = − =

U

2/8 B

2/8 N

4/8 R

U1 (1B, 2N, 4R)

U2 (2B, 1N, 4R) Ω = U1+U2+U3

U3 (2B, 2N, 3R)

2

1

2

, ( / ) 1 1

2

1

10

P(P / S) = 5 = P PC S = − =

a) la probabilidad de que se pare un penalti cualquiera es, utilizando el teorema de la

probabilidad total, con los sucesos T y S como sistema

...