Problemas Resueltos Ecuaciones Diferenciales
Enviado por yelitzaSHIRLEY • 13 de Septiembre de 2012 • 1.652 Palabras (7 Páginas) • 1.951 Visitas
APLICACIONES DE ECUACION DEFERENCIALES DE 1ER ORDEN
1. La suma de las longitudes de la normal y la sub-normal es igual a la unidad hallar la ecuación de la curva que pasa por el origen
Solución
Según la condición del problema de la figura tenemos
N T SN
Pero y
Luego
ST SN pero
= 1
Elevando al cuadrado, simplificando y separando variables
La curva pasa por (0,0) reemplazando X=0 , Y=0 -1 = C
2. Hallar la curva con l prioridad, de que la perpendicular trazada del origen a la línea tangente y la abscisa del punto de tangencia, son de igual longitud
Solución : sea P( Xo , Yo ), el punto de tangencia, luego la recta tangente a la cueva, en Po será
La distancia OR, debe ser igual a Xo
elevando al cuadrado y simplificando
como la ecuación e homogénea efectuamos el siguiente cambio de variable
reemplazando en la ecuación
Separando las variables e integrando
Pero
3. Hallar la familia de curvas en las que el segmento de toda la tangente comprendido entre el eje Y y el punto de tangencia queda dividido en dos partes iguales por el eje X
Solución : realizamos un gráfico de la situación pedida. La recta es
para hallar los valores a y b
…….. x = 0 , y = b
Como A es el punto medio entre P y B
Luego igualando componentes y reemplazando los valores de a y b
= 2
De ambos obtenemos la misma ecuación (que es lo que debíamos hallar), separando las variables e integrando
sol……
4. Encontrar la ecuación de las trayectorias ortogonales a una curva decreciente que satisface la condición: si un punto cualquiera de la curva decreciente, se trazan las rectas tangente y normal a dicha curva y si A es el punto de intersección de la tangente con la recta y B es el punto de intersección con la normal, el segmento AB siempre medirá unidades de longitud
Solución
La ecuación de la recta tangente es la intersección con Y = x tenemos
Y el punto A tiene coordenadas:
la ecuación de la recta normal será
y al intersectar con Y = X tenemos
Y el punto B tiene coordenadas:
La distancia entre estos puntos es
pero
Tomando el signo positivo
tomando el signo negativo pues la curva es decreciente
es la ecuacion diferencial de las curvas directas, para las curvas ortogonales, cambiamos
sea
…………..(3)
para la integral sea: el cambio de variable siguiente
Expandiendo a fracciones parciales e integrando
pero y reemplazando en (3)
pero
Solución ………
5. Hallar la curva para la cual el segmento de toda tangente comprendida entre los ejes coordenados, se divide en partes iguales por la parábola y 2= 2x
La ecuación de la recta tangente es
….(1)
Para hallar las intersecciones con los ejes coordenados, reemplazamos x= 0, y = b
En los puntos A y B, tienen coordenadas A (a, =) ,B(0,b)
…..(2)
El punto M, es medio entre A y B, luego
En punto M, debe hallarse sobre la parábola, luego cumple su ecuación, es decir
Se obtiene dos ecuaciones diferenciales
i)
= 0
sol….
Son rectas que pasan por el origen, si bien matemáticamente cumple la condición, no es la solución buscada
ii)
La ecuación de clairaut, haciendo y’ = p luego derivando tenemos
…..(3)
Se obtiene p’ = 0 p = C , reemplazando en y
…….(4)
para hallar la solución singular de (3) obtenemos
...