Problemas Resueltos Programacion Lineal

8.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II.

Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el coste es z = 10x  30y = 10(x  3y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x  3y) = 0 

x  3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x  3y).

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.

El precio en este caso será de z = 10(2,5  32,5) = 100 euros.

9.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Solución:

Llamamos x al número de lotes de A e y al número de lotes de B.

Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

Maximizar las ganancias equivale a maximizar los ingresos.

La función que nos da los ingresos es z = 30x  50y = 10(3x  5y). Debemos obtener el máximo de esta función sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta

30x  50y = 10(3x  5y) = 0  3x  5y = 0, que nos da la dirección de las rectas

z = 30x  50y.

es decir, en (50, 50).

Por tanto, se deben hacer 50 lotes de la oferta A y 50 de la B. Los ingresos en este caso serían de z = 30 50  50 50 = 4 000 euros.

10.- Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura.

El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.

La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Solución:

Llamamos x a la producción diaria de artículos A e y a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el beneficio es z = 20x  40y = 20(x  2y). Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 20(x  2y) = 0 

x  2y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 20x  40y.

es decir, en (3, 2).

Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2 de B. En este caso, el beneficio será de z = 20 3  40 2 =140 euros.

11.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.

Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.

Solución:

Llamamos x al número de joyas del tipo A e y al número de joyas del tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da los ingresos es z = 40x  50y = 10(4x  5y).

Debemos hacer máxima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 10(4x  5y) = 0 

4x  5y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(4x  5y).

es decir, en (300, 300).

Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B para obtener el máximo beneficio. Los ingresos en este caso serían z = 40 300  50 300 = 27 000 euros.

12.- Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente

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