Series De Fourer
Enviado por • 12 de Diciembre de 2012 • 2.015 Palabras (9 Páginas) • 371 Visitas
SERIES DE FOURIER
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
SERIES TRIGONOMETRICAS Y FUNCIONES PERIODICAS
Las series trigonométricas son de la forma:
a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x + … + an con nx + bn sen nx + …
Donde ai, bi, I = 1,2,…, n son constantes reales llamados coeficientes generalmente, estas series son periódicas con periodo 2π; aunque puede extenderse la teoría para cualquier periodo arbitrario.
Recordemos la definición función periódica
DEFINICIÓN
Función periódica. Sea f (t) definida para toda t > 0 y T > 0, f es periódica con T
f (t + T) = ft (t)
TEOREMA 1:
Sean f(x) y g(x) funciones periódicas con periodo T. h(x)=af(x)+bg(x), a,bϵR también es periódica con periodo T.
Demostración:
Como f(x) es periódica con periodo T f(x +T) = F(x)
Como g(x) es periódica con periodo T g(x +T) = g(x)
h(x +T) = af (x + T) + bg (x + T)
= af (x) +bg (x)
= h (x)
TEOREMA 2
Si T es periodo de f(x)
nT, n entero, también es periodo.
Demostración:
Si T es periodo de f(x)
f(x + T) = f (x), pero f(x +2T) = f(x + T) por que f es periódica con periodo T, entonces tenemos:
f(x) = f (x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = … = f(x + nT)
Para n = 0, ± 1,±2,±3, ±4,…y x ϵ R
OBTENCIÓN DEL MÍNIMO PERIODO
La función sen x tiene periodos 2π, 4π, 6π,…, ya que sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = sen (x + 6π) =… = sen x. sin embargo, el menor de todos ellos es 2π.
En general, el minimo periodo ocurrirá cuando:
T = periodo natural de la función
n
Donde n es el coeficiente del ángulo.
Ejemplo:
Obtener el mínimo periodo de f(x) = cos 2x
Cuando el periodo de la función coseno es 2π
T = 2π = π
2
T = π, para f(x) = cos 2x
TEOREMA 3
Las funciones cos nπx y sen nπx , n =1, 2, 3,…, k > 0 satisfacen las siguientes
k k
Propiedades de ortogonalidad en el intervalo -k≤ x ≥k.
∫ cos nπx cos mπx dx 0 si n ≠ m
K k k si n =m
∫ sen nπx sen mπx dx 0 si n ≠ m
K k k si n =m
∫cos nπx sen mπx dx = 0, 0, para todas n, m.
K k
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
TEOREMA 4
Sea f una función periódica, con periodo 2π y sean f(x) y f´(x) seccionalmente continuas en el intervalo (- π, π).
Entonces la serie de Fourier converge a:
f(x) si x es un punto de continuidad.
½ (lim f(x) + lim f(x)) si x es un punto de discontinuidad.
TEOREMA 5
La suma de funciones pares es una función par.
La suma de funciones impares es una función impar.
TEOREMA 6:
f(x) función par y g(x) función par
f(x) g(x) es una función par
DEMOSTRACIÓN
Sea: h(x) = f(x) g(x)
Tomemos: h(-x) = f(-x) g(-x)
=f(x) g(x), por que ambas son pares
= h (x) h(-x) = h(x)
TEOREMA 7
f (x) función impar g (x) función impar
f(x) g(x) es función par.
DEMOSTRACIÓN
Sea h(x) = f(x) g(x)
Tomemos: h(-x) = f(-x) g(-x)
= [-f(x)] [-g(x)], por que son impares.
= f(x) g(x), por la ley de los signos.
= h(x)
= h (-x) = h (x)
TEOREMA 8
f(x) función par y g(x) función impar
f(x) g(x) es una función impar
DEMOSTRACIÓN
Sea h(x) = f(x) g(x)
Tomemos: h(-x) = f(-x) g(-x)
= f(x) [-g(x)]
= f(x) g(x)
= -h(x) h(-x) = -h(x)
SERIES DE FURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
Funciones pares
TEOREMA 9
Sea f(x) una función par, periódica con periodo 2π
f(x) tiene una representación de en series de Fourier cosenoidal; es decir:
f(x) = a0 + ∑an cos nx
Con coeficientes:
a0 =1/π ∫f(x) dx, an = 2/π ∫f(x) cos nx dx, n = 1, 2, 3,…, bn = 0
Vemos que pasa en la formulación de los coeficientes de Fourier cuando la función es par.
a0 = 1/2π ∫f(x)dx
Como f(x) es par a0 = 1/2π (2∫f(x) dx) = 1/π ∫f(x)
an = 1/π ∫f(x) cos nx dx
Como f(x) es par y cos nx también lo es, su producto es una función par.
an = 2/π ∫ f(x) cos nx dx
bn = 1/π ∫ f(x) sen nx dx
Como f(x) es par y sen nxes impar, el producto es una función impar y su integral de –π a π vale cero bn = 0.
Funciones Impares
TEOREMA 10
Sea f(x) una función impar, periódica con periodo 2π
F(x) tiene una representación es series de Fourier senoidal; es decir:
f(x) = ∑bn sen nx,
Con coeficientes a0= 0, an = 0, bn = 2/π ∫f(x) sen nx dx, n = 1, 2, 3…
OBSERVACIÓN: algunos coeficientes de Fourier pueden ser cero si tratarse de funciones pares e impares.
FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
Una función periódica f(x) con periodo T también puede tener un desarrollo en series de Fourier. Para poder utilizas las formulas de Euler aplicables a funciones periódicas con periodo 2π introducimos el siguiente cambio de variable:
t = (T/ 2π) x x = (2π/ T) t
Entonces, la función f (2π/T) t es una función periódica de t, con periodo 2π.
La serie de Fourier correspondiente será:
F(x) (-T/2π) x = a0 + ∑an cos nt + bn sen nt,
Con coeficientes:
A0 = 1/2π ∫ f (T/2π) x dx
An = 1/π ∫f(T/ 2π) x cos nx dx
Bn = 1/π ∫f(T/2π) x sen nx dx
Como x = 2π/T dx = 2π/T dt
Cuando x = -π t = -T/2
x = -π t = T/2
Por lo tanto los coeficientes son:
An = 1/T ∫ f(t) dt an = 2/T∫f(t) cos (2nπ/T) t dt
bn = 2/T ∫f(t) sen (2nπ/T) t dt, n = 1, 2, 3…
Y la serie es: f(x) = a0 + ∑a0 cos (2nπ/T) t + bn sen (2nπ/T) t.
El intervalo de integración de los coeficientes puede remplazarse por cualquier intervalo de longitud T; por ejemplo 0 ≤ t ≤ T, T/2 ≤ t ≤ 3T/2 etcétera.
DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIODICAS EN SERIES DE FOURIER
Anticipadamente, mediante ejemplos y ejercicios, el hecho de que funciones no periódicas pueden tomarse como tales, considerándolas seccionalmente continúas. Podemos obtener el desarrollo de una función por ejemplo, f(x) = x3, en una serie de Fourier cosenoidal, o bien, en una serie de Fourier senoidal. Esto significa que dicha función fue considerada como par en el primer caso, e impar en el segundo caso. Tomaremos intervalos iguales y definiremos la función de manera que sea par o impar.
f(x) = x3 - l < x < l f(x) = x2 -I < x < l
f(-x) = -f(x) -f(x) = -f(x)
...