Sistema De Ecuaciones Lineales

UNIDAD 2 “SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”

2.1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

3.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucion

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos criterios fundamentales:

1. según como sea el TÉRMINO INDEPENDIENTE:

Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en

• SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector nulo)

;

• SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el término independiente es no nulo)

; siendo

1. según LA EXISTENCIA o no de SOLUCIONES

Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en:

• SISTEMAS COMPATIBLES: si tienen una o infinitas soluciones.

• SISTEMAS INCOMPTAIBLES: si no tienen soluciones.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

EJEMPLO.

Consideremos el siguiente sistema:

Determinar si los vectores (29/9, -2/9,0) y (14/9,4/9,1) satisfacen las ecuaciones del sistema:

Definimos en DERIVE el sistema

Y ahora sustituimos en el sistema x,y,z por los valores correspondientes con la ayuda de MANAGE-SUBSTITUTE.

Resultando una identidad.

Otra opción para efectuar esta comprobación consistiría en construir la forma matricial del sistema, definiendo entonces la matriz de coeficientes:

Definir los posibles vectores solución, como vectores columna:

Y comprobar si satisfacen las ecuaciones, observese que

Luego el primer vector sí satisface el sistema. Por el contrario, el segundo no lo satisface pues

Según esto podemos definir el concepto de SOLUCIÓN como

DEFINICIÓN (Solución de un sistema)

Sea un sistema de ecuaciones lineales siendo A una matriz de orden mxn, el vector de incógnita de Rn, y el vector de términos independientes del sistema.

Diremos que el vector es solución del sistema si verifica que

Ejemplo.

Consideremos los siguientes sistemas lineales:

A3.x4 = b4

A4.x4=b4

A5.x4=b4

A6.x4=b4

Siendo las matrices de coeficientes:

El vector de incógnitas:

Y los vectores de términos independientes:

b3:=[[3,-3,4]]`

b4:=[[3,4,-3]]`

b5:=[[3,-6,4]]`

b6:=[[3,-3,1]]`

¿El vector (5,4,-10) es solución de alguno de los cuatro sistemas?

Si definimos este nuevo vector, como

Podemos comprobar que es solución de los cuatro sistemas pues:

Del primero es solución pues

Del segundo también pues:

Del tercero también:

Y lo mismo sucede con el cuarto:

3.3 Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones con solución y sin solución:

Un sistema de ecuaciones se llama compatible si tiene al menos una solución. Se llama incompatible si no tiene ninguna solución.

Un sistema es determinado si tiene una sola solución (lo llamaremos compatible determinado), si tiene más de una solución es indeterminado (compatible indeterminado). Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:

Una ecuación de dos incógnitas se interpreta como una recta en el plano.

Un sistema de varias ecuaciones con dos incógnitas representa varias rectas en el plano.

Puede ocurrir:

1. Sistema compatible determinado, una única solución todas las rectas tienen un único punto común.

2. Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones: todas las rectas coinciden en todos sus puntos, son coincidentes.

3. Sistema incompatible, no hay solución: las rectas no tienen ningún punto en común todas ellas o bien son paralelas o bien se cortan dos a dos.

Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas:

Una ecuación de tres incógnitas se interpreta como un plano en el espacio.

Un sistema de varias ecuaciones con tres incógnitas representa varios planos en el espacio.

Puede ocurrir:

1. Sistema compatible determinado, una única solución todas los planos tienen un único punto común.

2. Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones: todos los planos coinciden o bien en todos sus puntos o bien en una recta común.

3. Sistema incompatible, no hay solución: los planos no tienen ningún punto en común todos ellos o bien son paralelos o bien se intersecan dos a dos.

3.4. Interpretación de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer

Método de Gauss

“Gauss es uno de los matemáticos mas importantes de todos los tiempos ¡Fue un genio!”

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno

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