TERMODINAMICA

Método del volumen de control

Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de volumen de control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control (SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado. La permanencia del espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo ocupan no sean siempre las mismas. La cantidad de partículas también será variable cuando el flujo no es permanente. Este método facilita la descripción del comportamiento del flujo y del fluido.

En el volumen de control las actividades de todos y cada uno de los volúmenes en el espacio satisfacen los principios básicos y los principios secundarios pertinentes.

Volumen de control.

En un tubo de flujo podemos considerar una determinada región que llamamos volumen de control (VC) para ser analizada separadamente. Por esta región fluye el fluido experimentando cambios debido a fuerzas y otras interacciones físicas. El VC está limitado por una superficie de control (SV). Cuando una masa de fluido pasa por el VC acarrea sus propiedades físicas: su masa, su energía, su entropía, su momento angular, su momento lineal, su número de partículas, etc. Estas magnitudes pueden experimentar cambios al pasar pr el VC.

Sea cualquiera de estas magnitudes físicas y sea la cantidad de esta cantidad por unidad de masa. Entonces se tiene:

(3.23)

Consideremos el esquema de la figura 3.4

Figura 3.4: Volumen de control.

En el instante la propiedad tiene una magnitud y en el instante la magnitud . Se tiene, en relación a los volúmenes de control , , y :

(3.24)

(3.25)

Restando (3.24) de (3.25) tenemos, en el límite :

Lím

(3.26)

En los dos últimos términos de (3.26) es la velocidad del fluido; estos términos representan el flujo neto por la superficie de control . Tenemos entonces:

(3.27)

Esta es la ecuación diferencial integral para la magnitud con densidad por unidad de masa igual a , en el volumen de control elegido.

Ejemplo 1. , =masa. En este caso . Si el flujo es estacionario se tiene:

(3.28)

luego, usando 3.27 se tiene:

(3.29)

y como la masa es constante en el tiempo, i.e. , resulta

(3.30)

o sea, el flujo neto de masa a través de la superficie de control es cero. Usando el teorema de la divergencia o de Gauss tenemos:

(3.31)

o bien, como el volumen de control es arbitrario:

(3.32)

si la densidad es constante tenemos un campo de velocidades de divergencia nula.

Ejemplo 2. momentum lineal. En este caso . Luego la ecuación (3.27) es:

(3.33)

y si el fluido es estacionario:

(3.34)

Por ejemplo para un flujo de densidad y velocidad incidiendo perpendicularmente sobre una placa la fuerza será:

OPERADOR GRADIENTE

El operador gradiente representa el conjunto de derivadas direccionales de una función de varias variables con respecto a las diferentes coordenadas de un sistema. Es un operador vectorial dado que como resultado de la operación, resulta un vector que apunta en la dirección de máxima variación de la función dada.

Esto se puede demostrar fácilmente tomando en cuenta que el diferencial total de cualquier función viene definido por:

El diferencial de cualquier función se puede calcular en términos del producto escalar como:

Ecuación 19 Diferencial total de una función escalar en función del operador gradiente

En la Ecuación 19 se puede apreciar, que el diferencial es cero cuando , es decir, cuando el desplazamiento es perpendicular al vector gradiente, y máximo cuando es decir cuando el desplazamiento ocurre en dirección del vector gradiente .

El vector gradiente es de gran utilidad en las diferentes operaciones vectoriales, como se verá en el siguiente capítulo.

Cuando se utilizan coordenadas angulares, es necesario multiplicar los diferenciales de dichas coordenadas por los factores métricos indicados en la Tabla 1 con lo que la expresión para el gradiente en coordenadas generalizadas queda:

Ecuación 20 Operador gradiente en coordenadas generalizadas.

TENSION SUPERFICIAL

En un fluido cada molécula interacciona con las que le rodean. El radio de acción de las fuerzas moleculares es relativamente pequeño, abarca a las moléculas vecinas más cercanas. Vamos a determinar de forma cualitativa, la resultante de las fuerzas de interacción sobre una molécula que se encuentra en

• A, el interior del líquido

• B, en las proximidades de la superficie

• C, en la superficie

Consideremos una molécula (en color rojo) en el seno de un líquido en equilibrio, alejada de la superficie libre tal como la A. Por simetría, la resultante de todas las fuerzas atractivas procedentes de las moléculas

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