Teorema Del límite Central

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con

media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución

muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una

media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada

vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

Ejemplo

Para la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:

a. El error muestral de cada media

b. La media de los errores muestrales

c. La desviación estándar de los errores muestrales.

Solución:

a. En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los

errores muestrales:

Muestra x Error muestral, e=x-

(0,0) 0 0 - 3 = -3

(0,2) 1 1 - 3 = -2

(0,4) 2 2 - 3 = -1

(0,6) 3 3 – 3 = 0(2,0) 1 1 – 3 = -2

(2,2) 2 2 – 3 = -1

(2,4) 3 3 – 3 = 0

(2,6) 4 4 – 3 = 1

(4,0) 2 2 – 3 = -1

(4,2) 3 3 – 3 = 0

(4,4) 4 4 – 3 = 1

(4,6) 5 5 – 3 = 2

(6,0) 3 3 – 3 = 0

(6,2) 4 4 – 3 = 1

(6,4) 5 5 – 3 = 2

(6,6) 6 6 – 3 = 3

b. La media de los errores muestrales es e, es:

c. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales

e, es entonces:

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de

una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error

estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los

errores muestrales.

En general se tiene:

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se

puede usar la formula siguiente para encontrar x .

donde es la desviación estándar de la población de donde se toman las

muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población.Como regla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la

población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra (N 20), entonces se

puede usar la fórmula.

El factor se denomina factor de corrección para una población finita.

Ejemplo:

Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de

tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas Antigüedad

A 6

B 4

C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin

reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la

distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución

muestral.

Solución:

Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras

posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Muestras Antigüedad Media Muestral

A,B (6,4) 5

A,C (6,2) 4

B,C (4,2) 3

La media poblacional es:

La media de la distribución muestral es:

La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de corrección tendríamos

que:

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de

corrección obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula

el valor del error estándar:

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma

de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es

simétrica.Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento

relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual

a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para

cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de

cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias

tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la

formula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para

calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media

de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

Ejemplo:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar

de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos

tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16

focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

Ejemplo:

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma

normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9

centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo

de esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8

centímetros.

b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:

Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un

muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección.

Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a.(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la

muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la

proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de

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