Trabajo Calculo Integral

DESARROLLO

Ejercicio 1

∫▒〖(x^5+3x-2)/x^3 dx= ∫▒x^5/x^3 〗+ 3x/x^3 - 2/x^3 dx= ∫▒〖x^2+ 3/x^2 - 2/x^(3 ) dx= ∫▒〖x^2+ ∫▒〖〖3x〗^(-2 ) dx∫▒〖x^(2 ) dx-∫▒〖〖2x〗^(-3) dx= x^3/3〗〗〗〗〗 +〖3x〗^(-1)/(-1)- 〖2x〗^(-2)/(-2)= x^3/3-3/x+ 1/x^2

Ejercicio 2

∫▒〖(sin⁡〖(x)+3 sec^2 (X)) dx= ∫▒sin⁡〖x dx+∫▒〖3sec^2 x dx=-cos⁡〖+3 tanx+c〗 〗〗 〗 〗

Ejercicio 3

∫▒〖(√t-t+t^3)/∛t dt= ∫▒〖√(t )/∛t 〗〗-t/(∛t )+t^3/(∛(t ) ) dt =

∫▒█(T^(1/2).T^(1/3) Dt.∫▒〖t^(3 ) t^(-1/3) ∫▒〖t^(1/6) dt-∫▒t^(2/(3 ) ) 〗 dt+∫▒t^(8/3) dt=t^(7/6)/(7/6)〗-t^(5/3)/(5/3)+ t^(11/3)/(11/3) c+6/7 √(6&t^(7 )+3/11 )@∛(t^(11 +c) ) )

Ejercicio 4

∫▒〖〖tan〗^2 (x)dx=∫▒〖sec〗^2 tanx dx=∫▒〖(〖sec〗^2 x-1) tan⁡〖x dx=∫▒tan⁡〖x sec^(2 ) x dx-∫▒tan⁡〖 x dx=(tan^(2 ))/2〗 〗 〗 〗〗+lm cox

Ejercicio 5

Solución:

∫▒x^2/〖1+〗^(x^6 ) dx es:

∫▒x^2/〖1+〗^(x^6 ) dx=∫▒x^2/〖1+〗^(〖(x〗^(〖3)〗^2 ) ) dx ⟹{ 〖u=x〗^3/〖du=3x〗^2 ⟹ ∫▒(〖 x〗^(2 ) du)/(〖1+( u)〗^2 〖 3 x〗^2 ) ⟹1/3 ∫▒du/〖1+〗^((u)^2 ) =1/3 〖tan〗^(-1) (x^(3))+c

6.〖 [e〗^x-(5/√(1+x^2 ))+2 sin⁡〖(x)]dx〗

=∫▒〖e^x-∫▒5/√(1-x^2 )〗 dx∫▒〖2 sin⁡〖x dx〗 〗

=e^x-5∫▒1/√(1-x^2 ) dx-2∫▒cos⁡〖x dx〗

e^x-5| Ln √(x^2-1 | ) dx-2 cos⁡〖x+c〗

Ejercicio 7

∫▒〖Cos〗^4 (x).sen(x)dx

Aplicar integración por sustitución:

∫▒〖f(g(x)).g^' (x)= ∫▒〖f(u)du, u=g(x)〗〗

u=cos⁡(x)=du= -sen(x)dx, dx=(- 1/(sen x))du

Sustituimos:

∫▒〖u^4 sen(x)(-1/senx)du〗

= ∫▒〖〖-u〗^4 du〗

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.∫▒f(x)dx〗

= -∫▒〖u^4 du〗

Aplicar regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

= -u^(4+1)/(4+1) Simplificar=> -(〖cos〗^5 (x))/5

RTA∶ -(〖cos〗^5 (x))/5+C

Ejercicio 8

∫▒〖(〖cos〗^3 (t)+1)/(〖cos〗^2 (t)) dt〗

Regla de la suma

∫▒〖(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt+ ∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt〗〗

∫▒(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt Simplificado=> ∫▒〖cos⁡(t)dt〗

Regla de integración: ∫▒〖cos⁡(t)dt=sen(t)〗

=Sen(t)

∫▒(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt=sen(t)

Regla de integración ∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt=tan⁡(t)〗

∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt〗 =tan⁡(t)

RTA:sen(t)+tan⁡(t)+C

Ejercicio 9

g(x)=x^2 √(1+x^3 )

g(a,b)=1/((b-a)) ∫_a^b▒g(x)dx

k=1+x^3

dk/dx=〖3x〗^2→dx=dk/(3x^2 )

=∫_0^2▒〖x^2 √k .dk/〖3x〗^2 〗

=1/2.1/3 ∫_0^2▒√k dk=1/3 x ∫_0^2▒〖k^(1/2) dx〗

=1/3 x^2 k^(3/2)/(3/2)+c=1/3 x^2 (2k^(3/2))/3+c

=∫_0^2▒〖2/9 k^(3/2)+c〗=2/9(1+x^3 )^(3/2)+c

=∫_0^2▒〖2/9 √((1+x^3 )^3 ) ∫_0^2▒〖2/9 ( √(1+(2)^3 )〗〗-√(1+(0)^3 ) )

2/9 (√(9^3-1))= 2/9 (3^3-1)=26/9

Ejercicio 10

Halle el valor medio de g(x)=2x- 〖2x〗^2 en el intervalo de [0,1]

g(x)= 1/(b-a) ∫_0^1▒〖g(x)dx〗

g(x)= 1/(1-0) ∫_0^1▒〖(2x- 〖2x〗^2)dx〗

1∫_0^1▒(2x-〖2x〗^2 )dx

Calcular integral indefinida

∫▒(2x-〖2x〗^2 )dx

Aplicar la regla de la suma ∫▒〖f(x)±g(x)dx=∫▒〖f(x)dx±∫▒g(x)dx〗〗

∫▒2xdx- ∫▒〖〖2x〗^2 dx〗

∫▒2xdx

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.∫▒f(x)dx〗

2∫▒xdx

Aplicar la regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

〖2x〗^(1+1)/(1+1 ) Simplificar= x^2

∫▒〖〖2x〗^2 dx〗

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.∫▒f(x)dx〗

2∫▒〖x^2 dx〗

Aplicar la regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

〖2x〗^(2+1)/(2+1) Simplificar= 〖2x〗^3/3

Sustituir en ∫▒2xdx- ∫▒〖〖2x〗^2 dx〗 y se agrega constante:

x^2-〖2x〗^3/3+C

Hallar límites:

lim┬(x→0)⁡+ (x^2-〖2x〗^3/3)=0

lim┬(x→1)⁡〖-(x^2 〗-〖2x〗^3/3= 1/3

= 1/3-0 Simplificar= 1/3

RTA:

1 1/3 Simplificar= 1/3

Ejercicio 11

H(x)∫_1^(x^2)▒〖(2t-4)dt )〗

Aplicar la regla de la suma ∫▒〖f(x)±g(x)dx=∫▒〖f(x)dx±∫▒g(x)dx〗〗

∫▒〖2tdt-∫▒4dt〗

∫▒2tdt

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.∫▒f(x)dx〗

∫▒〖2tdt=2∫▒tdt〗

Aplicar la regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

= 2 t^(1+1)/(1+1) Simplificar=> t^2 ∫▒4dt

Integral de una constante ∫▒〖f(a)dx=f(a)〗

∫▒〖4dt=4t〗

Constante a la solución

t^2-4t+c

Calcular los limites

lim┬(t→1)⁡〖+ (t^2-4t)= -3〗

lim┬(t→x2)⁡〖- (t^2-4t)=(x2)^2=4x2〗

= (x2)^2-4x2

=(x2)^2-4x2-(-3)

=4(x-2)x+3

Ejercicio 12

∫_0^(π/4)▒〖〖sen〗^3 (2x) cos⁡(2x)dx〗

Aplicar integración por sustitución ∫▒〖f(g(x)).g^' (x)dx= ∫▒〖f(u)du, u=g(x) u=2x: du=2dx, dx=1/2 du〗〗

=∫▒〖sen〗^3 (u)cos⁡(u)1/2 du

=∫▒(〖sen〗^3 (u)cos⁡(u))/2 du

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.f(x)dx〗

= 1/2 ∫▒〖〖sen〗^3 (u) cos⁡(u)du〗

Aplicar integración por sustitución: ∫▒〖f(g(x)).g^' (x)dx=∫▒〖f(u)du, u=g(x) v=sen(u): dv=cos⁡(u)du, du=1/(cos⁡(u)) dv〗〗

=1/2 ∫▒〖v^3 cos⁡(u)1/(cos⁡(u)) dv〗

=1/2 ∫▒〖v^3 dv〗

Aplicar regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

=1/2 v^(3+1)/(3+1)

Sustituir en la ecuación V=sen⁡(u),u=2x

=1/2 (〖sen〗^(3+1) (2x))/(3+1)

Simplificar

=(〖sen〗^4 (2))/8

Agregar constante

=(〖sen〗^4 (2x))/8+C

Límites:

lim┬(x→0)⁡〖+ ((〖sen〗^4 (2x))/8)=0〗

lim┬(x→π/4)⁡〖= -((〖sen〗^4 (2x))/8)= 1/8〗

= 1/8-0 = 1/8

CONCLUSIONES

Se resolvieron distintos tipos de ejercicios, que afianzaron los conocimientos adquiridos a través del estudio y profundidad que se hizo en la primera unidad de este curso.

Cabe concluir que con la realización de los ejercicios se obtuvo una comprensión más detallada sobre la fase trabajada.

Las habilidades de comunicación se pusieron en práctica una vez se hizo la interacción de los conocimientos a través del foro.

El trabajo en equipo fue indispensable para superar muchos de los retos presentes en el desarrollo del trabajo, no obstante, los aportes permitieron no solo consolidar el trabajo final, sino también construir conocimiento

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