Transformaciones Lineales
Enviado por hiper • 6 de Junio de 2012 • 1.987 Palabras (8 Páginas) • 826 Visitas
INTRODUCCION
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Definición de transformación lineal y sus propiedades
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
i)
,
.
ii)
,
,
.
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si
es una transformación lineal, entonces
Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales..
En efecto
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que
.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)
es lineal si y solo si
,
,
.
Si T lineal, entonces
. Inversamente, supongamos que
,
,
. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:
a)
.
b)
Nótese que usamos el hecho de que
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)
es lineal si y solo si
,
.
La demostración se hace por inducción sobre n.
a) Si
, entonces
, por la condición (ii) de T.
b) Supongamos válido para n. Probemos para
:
Por la condición (i) de T, tenemos que,
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
Así que podemos concluir que,
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea
tal que
,
. Entonces T es lineal, ya que
, y por otro lado,
. Por lo tanto,
vemos que
.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como
.
Ejemplo 2.
Sea
tal que
,
. Entonces T es lineal, ya que
.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como
.
Ejemplo 3.
Sea
tal que
la traza de A, es decir,
, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que
Ejemplo 4.
Sea
tal que
. Entonces T es lineal, ya que
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
• T(u+v) = T(u) + T(v)
• T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
TRANSFORMACIONES LINEALES
(REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN)
1) ROTACIÓN EN ÁNGULO
)
Sea
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T
de
en
que gira cada vector
un ángulo
, para obtener un vector
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que
y tenemos que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación
tal que
.
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo
2) REFLEXIÓN SOBRE EL EJE X
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de
en
que cada vector
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
.
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
3) . Proyección ortogonal sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de
en
que a cada vector
lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:
...