Transformada

Por Definición ℒ{3x + 2}

Como la propiedad de Linealidad de Laplace dice que

ℒ{f+g} = ℒ{f} + ℒ{g}

Entonces tenemos que:

ℒ{3x+2} = ℒ{3x} + ℒ{2}

Y como ℒ{∞ f} = ∞ ℒ{f}

Por lo tanto:

3 ℒ{x} + ℒ{2}

Aplicando las fórmulas de Laplace

ℒ{x} = 1/s^2 y ℒ{∞} = ∞/s

3 ℒ{x} = 1/s^2 y ℒ{2} = 2/s

∴ ℒ{3x+2} = 3/( s^2 ) + 2/s

Resolver y’’ + 3y’ + 2y = 2 δ (x-4) ; y(0) = y’(0) = 0

ℒ{y’’} + ℒ{3y’} + ℒ{2y} = ℒ{2 δ (x-4)}

ℒ{y’’} + 3 ℒ{y’} + 2 ℒ{y} = 2 ℒ{ δ (x-4)}

s^2Y – sy(0) – y’(0) + 3 (sY – y(0)) + 2Y = 2 ℒ{ δ (x-4)}

como ℒ{ δ (x) } = 1 y ℒ{ δ (x – x0) } = 1 - e^(-x_0 s)

s^2Y – sy(0) – y’(0) + 3 (sY – y(0)) + 2Y = 2 e^(-4s)

Evaluando y(0) = y’(0) = 0

s^2Y+ 3 sY + 2Y = 2 e^(-4s)

Y(s^2+3s+2) = 2 e^(-4s)

Y= (2 )/((s^2+3s+2) ) e^(-4s)

(s^2+3s+2) = (s+1)(s+2)

A/(s+1)+ B/(s+2) = (2 )/((s+1)(s+2) ) e^(-4s)

As + 2A + Bs + B = 2

s: A + B = 0 A = -B A = -2

: 2A + B = 2 -2B + B = 2  -B = 2 B = 2

(2/(S+1)-2/(S+2)) e^(-4s)

Transformando:

(2 e^(-x)-2 e^(-2x)) e^(-4s)

2 ( e^(-x)-e^(-2x)) e^(-4s)

2 ( e^(-x)-e^(-2x)) δ(x - 4)

2 δ(x - 4) [ e^(-x)-e^(-2x)]

Encontrar la serie de Fourier de

Como el periodo en esta función es T = 2π

Y la Longitud es L= T/2= 2π/2 = π

-A si -π < x < 0

Y f(x) =

A si 0 < x < π

Como A0 = 1/2L [ ∫_(-L)^L▒f(x)dx

1/2π [∫_(-π)^0▒〖-A dx + ∫_0^π▒〖A dx〗 〗] < = > 1/2π [-A∫_(-π)^0▒〖 dx + A∫_0^π▒dx 〗]

1/2π [-A ( x^2/2)_(-π)^0+( x^2/2)_0^π ]  1/2π [-A ( 0- 〖-π〗^2/2)+A( π^2/2-0)]

1/2π [- (Aπ^2)/2+(Aπ^2)/2] = 0

∴ A0 = 0

Si tenemos que An = 1/L ∫_(-L)^L▒〖f(x) cos⁡〖nπx/L〗 dx〗

An = 1/π [∫_(-π)^0▒〖-A cos⁡nx dx〗 + ∫_0^π▒〖 〖A cos〗⁡〖nπx/π〗 dx〗]

1/π [-A∫_(-π)^0▒〖 cos⁡〖nπx/π〗 dx〗 + A∫_0^π▒〖〖 cos〗⁡〖nπx/π〗 dx〗]

1/π [-A [〖1/n sen〗⁡nx ]_(-π)^0 + A [〖1/n sen〗⁡nx ]_0^π ]

1/π [-A (⁡〖0-〖1/n sen〗⁡〖(-π))〗 〗 + A 〖(1/n cos〗⁡〖π-0)〗 ]

1/π [-A/n sen π + -A/n sen π ] = An = 0

Si tenemos que

...