Unidad 5 Calculo Vectorial

UNIDAD V

INTEGRACIÓN

5.1 INTRODUCCION

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

5.2 INTEGRAL DE LINEA

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;

El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

.

una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;

laparametrización de una trayectoria en . Se llama integral de línea de F sobre a la integral:

Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES

La integración iterada es un método de integración en el cualefectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar,también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.

En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integracióndoblede esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahoraa comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que tambiéneste puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.

Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’.El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección.

La sección transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R.

La ecuación anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,

Donde la ecuación de volumen es,

Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante.

De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc.La integración tripletambién es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

5.4 APLICACIONESAÁREASYSOLUCIÓNDEPROBLEMAS

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente.

Por ejemplo,

2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K.

Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran de más de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

 Resolución de problemas de suma de vectores

un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste. Calcular:¿Cuál es la diferencia total que recorren?¿Cuál es su desplazamiento? Solución: como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias: Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7kmpara encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1×2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

5.6 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFERICAS

 Coordenadas cilíndricas:

Un sólido tiene forma de la región Q, que se encuentra dentro del cilindro r=a y de la esfera r2+z2=4a2 y por arriba del plano xy. La densidad en el punto p (r,θ,z) esta dada por kz(masa del solido).

 Coordenadas Esfericas:

 Coordenadas cilíndricas

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

 Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P≥ 0 0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esfericas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN CORDENADAS CARTECIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFERICAS.

o Definición Integral triple

Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.

Ejemplo.

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

 Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO.

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el

círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r,

) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Partes: 1, 2



coordenadas esfericas.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

Esfera, radio 4, centro en el rigen.

Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.

Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que forma un ángulo de

radianescon el eje x positivo.

El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica definida por los diferenciales

La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de longitud

en un lado y un arco circular de longitud

y espesor de

en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadas esféricas es

Y las integrales triples adoptan la forma

...