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Unidad 5 Relaciones Matemáticas Discretas

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Enviado por:  ioridejesus  10 enero 2013
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Palabras: 2226   |   Páginas: 9
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Unidad 5 Relaciones

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.

5.1 Conceptos básicos relaciones.

Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B.

Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R = {(a,1),(c,2)}.

A las relaciones también se les llama correspondencias.

5.1.1 Producto cartesiano

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.

La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.

Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:

A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.

Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.

5.1.2 Relación binaria

La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.

Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación.

Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.

Propiedades de una relación binaria

Las princi

pales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

5.1.3 Representación de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)

Representación De Relaciones Usando Matrices

Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

Sean A y B conjuntos finitos de la forma

Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz

dónde:

La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y unos, de R tiene un 1 en la posición cuando está relacionado con y un 1 en está posición si no está relacionado con .

EJEMPLO:

Sean

Consideremos la siguiente relación de :

Entonces la matriz de R es

Recíprocamente, dando los conjuntos A y B con m y n elementos respectivamente, una matriz de m x n formada de cer ...



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