Colaborativo 2 Algebra Lineal

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se realiza el desarrollo de los ejercicios propuesto para la actividad colaborativa de la segunda unidad, de esta manera se evidencia las prácticas y comprensión de los temas tratados en el curso de Algebra Lineal.

Con el desarrollo de los ejercicios propuestos para este trabajo colaborativo, los participantes demostrarán el dominio de temas como Ecuaciones Lineales, rectas en R^3, Planos y Espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

1.2

SOLUCIÓN EJERCICIO 1.1

Escribimos la matriz ampliada de las ecuaciones lineales:

{■(-2&-4&-1@3&2&-2@-5&-1&5)│■(-5@0@4)}

Aplicamos las operaciones elementales para transformar la matriz a su forma escalonada simple.

{■(-2&-4&-1@3&2&-2@-5&-1&5)│■(-5@0@4)} -1/2*f_1 {■(1&2&1/2@3&2&-2@-5&-1&5)│■(5/2@0@4)} f_2-3*f_1

{■(1&2&1/2@0&-4&-7/2@-5&-1&5)│■(5/2@-15/2@4)} f_3+5*f_1 {■(1&2&1/2@0&-4&-7/2@0&9&15/2)│■(5/2@-15/2@33/2)} f_2*-1/4

{■(1&2&1/2@0&1&7/8@0&9&15/2)│■(5/2@15/8@33/2)} f_1-2*f_2 {■(1&0&5/4@0&1&7/8@0&9&15/2)│■(-5/4@15/8@33/2)} f_3-9*f_2

{■(1&0&5/4@0&1&7/8@0&0&-3/8)│■(-5/4@15/8@-3/8)} f_3-3/(8 ) {■(1&0&5/4@0&1&7/8@0&0&1)│■(-5/4@15/8@1)} f_2-7/8*f_3

{■(1&0&5/4@0&1&0@0&0&1)│■(-5/4@1@1)} f_1-5/4*f_(3 ) {■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)│■(0@1@1)}

Hacemos la prueba del resultado obtenido en la matriz, reemplazando en una de las ecuaciones lineales.

X = 0, Y = 1, Z=1

-2X - 4Y – Z = -5

-2(0) – 4(1) – (1) = -5

– 4 – 1 = -5

SOLUCIÓN EJERCICIO 1.2

Escribimos la matriz aumentada:

{■(-5&2&-3@3&-10&-1) ■(4@1)│ ■(-2@-8)}

Aplicamos las operaciones elementales para transformar la matriz a su forma escalonada simple.

{■(-5&2&-3@3&-10&-1) ■(4@1) │ ■(-2@-8)} f_1*-1/5 {■(1&-2/5&3/5@3&-10&-1) ■(-4/5 @1)│ ■(2/5@-8)} f_2-3*f_1

{■(1&-2/5&3/5@0&-44/5&-14/5) ■(-4/5 @17/5)│ ■(2/5@-46/5)} - 5/44*f_2 {■(1&-2/5&3/5@0&1&7/22) ■(-4/5 @-17/44)│ ■(2/5@-23/22)} f_1+2/5 * f_2

{■(1&0&40/55@0&1&7/22) ■( 71/110 @-17/44)│ ■(45/55@-23/22)}

Así la matriz ya se encuentra en su forma escalonada.

Se escribe las ecuaciones resultantes.

X+ 40/55 Z+71/110 W= 45/55

Y+ 7/22 Z-17/44 W= -23/22

Como las variables Z y W se encuentran en ambas ecuaciones, se llaman variables libres.

Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones, se requiere asignar valores arbitrarios a las variables Z y W.

Despejamos X de la primera ecuación:

X+ 40/55 Z+71/110 W= 45/55 X= -45/55 - 40/55 Z- 71/110 W

Despejamos X de la primera ecuación:

Y+ 7/22 Z-17/44 W= -23/22 Y= 23/22 -7/22 Z+17/44 W

A las variables Z y W se le dará un valor igual a cero.

Z = 0

W = 0

Reemplazando los valores de Z y W en la primera y segunda ecuación tenemos:

X=-45/55

Y= 23/22

Hacemos la prueba del resultado obtenido reemplazando los valores en una de las ecuaciones lineales.

-5x+2y-3z +4w= -2

-5(-45/55)+2(23/22)-3*0 +4*0= -2

-45/11+23/11= -2

-2 = -2

Ejercicio 3

Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

Ejercicio 3.1 Contiene a los puntos P = (-1,-8,-6) y Q = (-7,5,-6)

SOLUCIÓN:

Se obtiene el vector.

v ⃗=(PQ) ⃗=(-7,-1) i ̂+(-5,-8) j ̂+(-6,-6) k ̂

v ⃗=(PQ) ⃗=-8i ̂-3j ̂-12k ̂

Por lo tanto.

a = -8 b = -3 c = -12

Ecuación vectorial

(OR) ⃗=(OP) ⃗+tv ⃗

Xi ̂+Yj ̂+Zk ̂=-1i ̂-38-3k ̂+t(-8i ̂-3j

...