Aplicaciones De Calculo Diferencial

“Aplicaciones De Calculo Diferencial”

Nombre: Ernesto Fco Guajardo Patiño

Matricula: F-2424

Gpo: 5°B

Materia: Matematicas

APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA.

En este ensayo hablaremos de la primera derivada para analizar el comportamiento de familias de funciones.

Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y con ellos revolveremos problemas del campo de optimización.

PUNTOS CRITICOS.

Para cualquier función [pic], un punto p en el dominio de [pic] en donde [pic] ó [pic] no está definida se llama punto crítico de la función. Además, el Punto [pic] en la gráfica de [pic] también se llama punto crítico. Un valor crítico de [pic] es el valor [pic] de la función en un punto crítico p.

¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?

Geométricamente, en un punto crítico donde [pic], la recta tangente a la gráfica de [pic]en [pic] es horizontal. En un punto crítico donde [pic] no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó la tangente es vertical ó no existe en absoluto.

Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno (ver

figuras)

Los puntos donde [pic] ó donde no está definida dividen el dominio de [pic] en intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la gráfica de una función no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES.

¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde [pic]? Si [pic] tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia de dirección.

¿CÓMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES?

Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales:

➢ Si p es un punto crítico en el dominio de [pic], y si [pic] cambia signo en un entorno de p, entonces [pic] tiene ya sea un mínimo local o un máximo local en p.

← Si [pic] es negativa a la izquierda de p y positiva a la derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.

← Si [pic] es positiva a la izquierda de p y negativa a la derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.

EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen

No olvides los pasos a seguir:

1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide.

2. Realiza el dibujo.

3. Construye el modelo.

4. Calcula máximos y mínimos.

Y analizar las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué es lo que te pide el problema?.

b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?( puedes utilizar incógnitas).

c) ¿Cuál es la ecuación con la que se va a obtener el máximo ó mínimo?.

d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos críticos?.

e) De acuerdo a los puntos críticos, qué valor corresponde al máximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda derivada).

PONIENDO EN PRÁCTICA LOS CONOCIMIENTOS.

Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.

Materiales:

Cartulina de 20 cm. X 20 cm.

Tijeras

Regla

Escuadras

Calculadora

Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo

Cinta adhesiva (masking- tape)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

En esta actividad examinamos el volumen de las diferentes cajas que se pueden construir a partir de un material del mismo tamaño.

PROCEDIMIENTO:

a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm. Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; después de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo.

b) Las medidas de “x” para los seis equipos distintos, asignando una medida a cada equipo son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5 cm., y 3.8 cm.

c) Haga los dobleces necesarios para formar la caja como lo muestra la siguiente figura:

1 Cada equipo que tome los siguientes datos de las distintas cajas y que realice las operaciones pertinentes en su calculadora.

CÁLCULOS:

a).

Determina el área de la base como lo indica la tabla en la columna 5 y anótalo.

b). Determina el volumen del paralelepípedo como lo indica la columna 6 de la tabla y anótalo.

c). ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con los datos obtenidos por los otros grupos?(compara las áreas y volúmenes con la de los otros).

d). Deriva la función del volumen V = x (20 – 2x)2

e). Iguala [pic] con cero

f). Obtén el valor de “x” en [pic] = 0

g). ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más con la “x” determinada en el inciso (f)? Coméntalo con tu grupo.

h). Comenta con tus compañeros qué

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