Asimetría: coeficientes de asimetría de Fisher y Pearson. Otros Coeficientes de asimetría

AUTOR: Jonathan Freire

TEMA 4

MEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN

4.1.- Asimetría: coeficientes de asimetría de Fisher y Pearson. Otros Coeficientes de asimetría.

4.2.- La ley normal.

4.3.- Curtosis o aplastamiento: coeficiente de Fisher.

4.4.- Medidas de concentración: Indice de Gini y Curva de Lorenz.

4.1.- Asimetría: coeficientes de asimetría de Fisher y Pearson. Otros Coeficientes de asimetría.

Medidas de forma:

• Asimetría

• Curtosis o apuntamiento.

Hasta ahora, hemos estado analizando y estudiando la dispersión de una distribución, pero parece evidente que necesitamos conocer más sobre el comportamiento de una distribución. En esta parte, analizaremos las medidas de forma, en el sentido de histograma o representación de datos, es decir, que información nos aporta según la forma que tengan la disposición de datos.

Las medidas de forma de una distribución se pueden clasificar en dos grandes grupos o bloques: medidas de asimetría y medidas de curtosis.

Cuando al trazar una vertical, en el diagrama de barras o histograma, de una variable, según sea esta discreta o continua, por el valor de la media, esta vertical, se transforma en eje de simetría, decimos que la distribución es simétrica. Diremos pues, que es simétrica, cuando a ambos lados de la media aritmética haya el mismo nº de valores de la variable, equidistantes de dicha media dos a dos, y tales que cada par de valores equidistantes tiene la misma frecuencia absoluta. En caso contrario, dicha distribución será asimétrica o diremos que presenta asimetría.

Para calcular la asimetría, una posibilidad, es utilizar el llamado coeficiente de FISHER que representaremos como g1 y responderá a la siguiente expresión matemática:

Según sea el valor de g1, diremos que la distribución es asimétrica a derechas o positiva, a izquierdas o negativa, o simétrica, o sea:

Si g1 > 0  la distribución será asimétrica positiva o a derechas (desplazada hacia la derecha).

Si g1 < 0  la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia la izquierda).

Si g1 = 0  la distribución será simétrica.

Otra posibilidad de calcular la asimetría, es por medio del coeficiente de PEARSON (Ap), el cual responde a la siguiente expresión.

Aunque en la práctica este coeficiente sería más fácil de calcular que el anterior, casi no lo utilizaremos ya que solo es cierto cuando la distribución tiene las siguientes condiciones:

Unimodal

Campaniforme

Moderada o ligeramente asimetrica.

Si Ap > 0  la distribución será asimétrica positiva o a derechas (desplazada hacia la derecha).

Si Ap < 0  la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia la izquierda).

Si Ap = 0  la distribución será simétrica.

NOTA: Otro coeficiente es el coeficiente de asimetría de Bowley, menos utilizado. El cual esta basado en la posición de los cuartiles y la mediana, para lo cual los relacionaremos de acuerdo con la siguiente expresión:

4.2.- La ley normal.

Se hace necesario, para la teoría siguiente, conocer la DISTRIBUCIÓN NORMAL, ya que tiene gran importancia al querer estudiar el apuntamiento o curtosis. Se dice que una distribución tiene un apuntamiento u otro, siempre en función de esta distribución normal.

La distribución llamada normal, corresponde a fenómenos muy corrientes en la naturaleza y cuya representación gráfica es una campana de Gauss. Esta campana responde a una función matemática, que es la función de densidad de la distribución:

Se producen unos punto de inflexión X +S y X-S y el eje OX es una asíntota horizontal siendo el área comprendida entre la f y el eje de las X igual a 1

4.3.- Curtosis: coeficiente de Fisher.

Para calcularlo utilizaremos la expresión

Si g2 > 0 la distribución será leptocúrtica o apuntada

Si g2 = 0 la distribución será mesocúrtica o normal

Si g2 < 0 la distribución será platicúrtica o menos apuntada que lo normal.

4.4.- Medidas de concentración: Indice de Gini y Curva de Lorenz.

Las medidas de concentración tratan de poner de relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable, son por tanto indicadores del grado de distribución de la variable.

Para este fin, están concebidos los estudios sobre concentración.

Denominamos concentración a la mayor o menor equidad en el reparto de la suma total de los valores de la variable considerada (renta, salarios, etc.).

Las infinitas posibilidades que pueden adoptar los valores, se encuentran entre los dos extremos:

1.- Concentración máxima, cuando uno solo percibe el total y los demás nada, en este caso, nos encontraremos ante un reparto no equitativo:

x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = 0 y xn.

2.- Concentración mínima, cuando el conjunto total de valores de la variable esta repartido por igual, en este caso diremos que estamos ante un reparto equitativo

x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = xn

De las diferentes medidas de concentración que existen nos vamos a centrar en dos:

Indice de Gini, Coeficiente, por tanto será un valor numérico.

Curva de Lorenz, gráfico, por tanto será una representación en ejes coordenados.

Sea una distribución de rentas (xi, ni) de la que formaremos una tabla con las siguientes columnas:

1.- Los productos xi ni, que nos indicarán la renta total percibida por los ni rentistas de renta individual xi .

2.- Las frecuencias absolutas acumuladas Ni .

3.- Los totales acumulados ui que se calculan de la siguiente forma:

u1= x1 n1

u2 = x1 n1 + x2 n2

u3 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3

u4 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4

un = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4 + …………. + xn nn

Por tanto podemos decir que

4.- La columna total de frecuencias acumuladas relativas, que expresaremos en tanto por ciento y que representaremos como pi y que vendrá dada por la siguiente notación

5.- La renta total de todos los rentistas que será un y que dada en tanto por ciento, la cual representaremos como qi y que responderá a la siguiente notación:

Por tanto ya podemos confeccionar la tabla que será la siguiente:

xi

ni

xi ni

Ni

ui

pi - qi

x1 n1 x1 n1 N1 u1 p1 q1 p1 - q1

x2 n2 x2 n2 N2 u2 p2 q2 p2 - q2

... ... ... ... ... ... ... ...

xn nn xn nn Nn un pn qn pn - qn

Como podemos ver la última columna es la diferencia entre las dos penúltimas, esta diferencia seria 0 para la concentración mínima ya que pi = qi y por tanto su diferencia seria cero.

Si esto lo representamos gráficamente obtendremos la curva de concentración o curva de Lorenz .La manera de representarlo será, en el eje de las X, los valores pi en % y en el de las Y los valores de qi en %. Al ser un %, el gráfico siempre será un cuadrado, y la gráfica será una curva que se unirá al cuadrado, por los valores (0,0), y (100,100), y quedará siempre por debajo de la diagonal.

La manera de interpretarla será: cuanto más cerca se sitúe esta curva de la diagonal, menor concentración habrá, o más homogeneidad en la distribución. Cuanto más se acerque a los ejes, por la parte inferior del cuadrado, mayor concentración.

Los extremos son

Analíticamente calcularemos el índice de Gini el cual responde a la siguiente ecuación

Este índice tomara los valores de IG = 0 cuando pi = qi concentración mínima y de Ig = 1 cuando qi = 0

Esto lo veremos mejor con un ejemplo

Frecuencia

marca xini un qi = (ui/un) 100 pi = (Ni/n) 100 pi - qi

Li-1 - Li xi ni Ni

0 - 50 25 23 23 575 575 1,48 8,85 7,37

50 - 100 75 72 95 5400 5975 15,38 36,54 21,16

100 - 150 125 62 157 7750 13725 35,33 60,38 25,06

150 - 200 175 48 205 8400 22125 56,95 78,85 21,90

200 - 250 225 19 224 4275 26400 67,95 86,15 18,20

250 - 300 275 8 232 2200 28600 73,62 89,23 15,61

300 - 350 325 14 246 4550 33150 85,33 94,62 9,29

350 - 400 375 7 253 2625 35775 92,08 97,31 5,22

400 - 450 425 5 258 2125 37900 97,55 99,23 1,68

450 - 500 475 2 260 950 38850 100,00 100,00 0,00

260 38850 651,15 125,48

Se pide Indice de concentración y Curva de Lorenz correspondiente

a) Indice de concentración de GINI

, Observamos

que hay poca concentración por encontrarse cerca del 0.

b) Curva de Lorenz

La curva la obtenemos cerca de la diagonal, que indica que hay poca concentración:

...