Bases Y Dimensiones
Enviado por OMARPATRON • 21 de Mayo de 2014 • 586 Palabras (3 Páginas) • 343 Visitas
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición.- Un conjunto finitos de vectores es una base para un espacio vectorial V si:
• Todo conjunto de vectores linealmente independiente en es una base de .
EJEMPLOS
Sea . Encuentre una base para el conjunto de vectores que están en el plano.
TEOREMA
Si es una base para V y si , entonces existe un conjunto único de escalares tales que:
DEMOSTRACION
Por tanto para cada vector , existe un conjunto único de escalares, tales que, cualquier vector se lo puede expresar como una combinación lineal del conjunto único.
TEOREMA
Sea y , m vectores de V. Si , entonces es linealmente dependiente.
En un sistema homogéneo de n ecuaciones con m variables, cuando el conjunto tiene infinitas soluciones, por lo tanto es linealmente dependiente.
DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición.- Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. La dimensión de V se la denota como: dim V.
EJEMPLOS:
• Todo espacio vectorial que tenga un subespacio de dimensión infinita es también de dimensión infinita.
• Si W es un subespacio de V y , entonces:
EJERCICIOS:
Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.
Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.
Ejercicios:
1.- Califique cada
...