Coordenadas Polares En El Plano

Coordenadas polares

Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r, 0), como sigue.

r =distancia dirigida de 0a P

=ángulo dirigido, en sentido anti horario, del eje polar al segmento 0PA continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.

En coordinas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r,) y (r,2+)representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r,) y (-r,+) representan un mismo punto. En general, el punto (r,) se puede expresar como: (r,) = (r, +2n) o como: (r,) = (-r,+ (2n+1)). Siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0, ), donde es cualquier ángulo.

Simetría

SIMETRíA CON RESPECTO AL EJE POLAR:

Criterio I: una gráfica es simétrica con respecto al eje polar si

En palabras si al cambiar por - se obtiene el mismo , la gráfica será simétrica al eje polar

Si el punto ( está en la gráfica el punto también lo está.

cos( pero si como el criterio allí no se cumple.

Con este criterio todas las gráficas que involucren cos son simétricas con el eje polar y que esto permite hacer tablas con menos datos.

SIMETRÍA CON EL EJE (O CON EL EJE ):

Criterio I : Una gráfica es simétrica con respecto al eje si . En palabras si al cambiar por se obtiene el mismo valor de la gráfica tendrá ésta simetría. Si el punto está en la gráfica el punto también lo está. Por ejemplo para como ésta gráfica será simétrica con respecto a En términos de la hechura de la tabla para graficar si es necesario se le dan a valores entre - y y luego se calca lo obtenido, gracias a la simetría.

-π/2 -π/4 -π/6 0 π/6 π/4 π/2

4 3.414 3 2 1 0.585 0

SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN (AL POLO)

Criterio I: Una gráfica es simétrica con respecto al polo si al cambiar por - se

obtiene el mismo es decir si el punto está en la gráfica el punto (

que es simétrico con respecto al origen también lo está. Por ejemplo luego esta gráfica es simétrica con respecto al polo Pero hay que observar que sólo las gráficas que contienen satisfacen este criterio, por lo cual aprovechando el hecho de que para un punto en coordenadas polares hay varias maneras de dar su representación, un punto es simétrico al polo si el punto está en la gráfica, el punto también lo está (observe la gráfica anterior) por lo tanto se tiene

Criterio II: una gráfica es simétrica con el origen si

Por ejemplo no satisface el criterio I de simetría al polo sin embargo

Luego si satisface el criterio II siendo así simétrica con el polo.

Por esta razón también se pueden usar otros criterios para las otras dos simetrías

SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR

Criterio I: Una gráfica es simétrica con respecto al eje polar si .En palabras si al cambiar simultáneamente por y por volvemos a la ecuación . Por ejemplo no satisface el criterio I de cambiar por Pero por el criterio II

Simetría CON RESPECTO AL EJE

Criterio I: Una gráfica es simétrica con respecto al eje si

Para si se usa el criterio I tan no cumple.

Pero si cumple el criterio II. Es importante ver que en cada par de criterios los puntos si son equivalentes y por eso ambos criterios para una misma simetría sirven

Que es el mismo punto que

Que es el mismo punto que (

Que ( es el mismo punto que

En resumen

Simetría Criterio I Criterio II

Con eje polar

Con eje y o

Con el polo u origen

Si una gráfica cumple dos criterios cumple también el tercero.

La idea cuando se presenta para trazar la gráfica de una curva en coordenadas polares es utilizar estas herramientas y no pasar la ecuación a coordenadas rectangulares porque, salvo en contadas ocasiones, se obtiene una ecuación implícita complicada.

Por ejemplo en coordenadas rectangulares es: que no es una ecuación fácil de graficar.

GRAFICAS EN POLARES

Una forma de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la grafica de la ecuación rectangular. Ejemplos:

Cardiodes : A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardiode. Para este ejemplo se presenta un cardiode simétrico con respecto al eje polar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardiode. La función que lo ha generado es:

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