División algebraica

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d • C

Donde: D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”)

d es el divisor (factor conocido)

C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

Leyes que sigue la división:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) ÷ (+) = +

(-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (+) = -

Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

Donde m y n son números y n es distinto de cero

Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias.

Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así:

División de monomios

Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales.

Pasos a seguir:

• Se aplica ley de signos

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

PRODUCTOS NOTABLES

En el estudio de la matemática, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta sin realizar la operación, lo que es lo mismo por simple inspección

Los productos notables son las multiplicaciones de tipo notable, en los capítulos presente y siguiente nos centraremos en los binomios potenciados, o sea los binomios elevados a alguna potencia.

Cuadrado de un binomio

Básicamente se escriben así:

Si efectuamos las operaciones nos queda:

Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (25xy z ) seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como:

Que se leen respectivamente

• El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a + b) ) es igual al cuadrado de la primera (a ) más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).

• El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b) ) es igual al cuadrado de la primera (a ) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).

Ejemplo:

BINOMIOS POTENCIADOS

Generalización.

Como vimos anteriormente el cuadrado y el cubo de un binomio actúan de manera notable, pero cualquier binomio elevado a un exponente actúa de manera notable, veamos las características de estos binomios:

• El resultado de operar un binomio potenciado nos entrega un polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1, si el exponente es 3 tendrá 4 factores, si el exponente es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.

• El factor de la izquierda aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera decreciente en el polinomio a partir del exponente del binomio hasta cero.

• El factor de la derecha aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera creciente en el polinomio a partir de cero hasta alcanzar al exponente del binomio.

• En cualquier factor del polinomio podemos sumar el exponente del factor de la izquierda y del factor de la derecha y nos dará igual al exponente del binomio.

• El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente triangulo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

etc. etc.

Este triangulo es conocido como triángulo de Pascal, el cual no tiene final, y para su elaboración se dispone de dos pasos

1. Añadir un uno al inicio y al final de cada renglón.

2. Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en el renglón inmediatamente superior.

• El segundo número que aparece en el renglón de este triangulo es el mismo que se encuentra como exponente del binomio, y es este renglón el que se debe ocupar para el producto notable.

Ahora que hemos visto como se comportan los binomios notables se puede proponer un proceso adecuado para desarrollar cualquier binomio potenciado:

1. Se colocaran uno a uno los factores del polinomio tomando como multiplicador el número respectivo del renglón adecuado del triángulo de pascal.

2. Se comenzara colocando el número del triángulo de Pascal (todos los renglones comienzan con 1) multiplicando a el primer factor, encerrado en un paréntesis, elevado al mismo exponente que se encuentra elevado el binomio y multiplicando también al segundo factor, también en un paréntesis, elevado al exponente cero.

3. Los siguientes factores también son la multiplicación del numero correspondiente del triangulo, por el primer factor elevado a un exponente menor en una unidad al que aparece en el factor anterior, y por el segundo exponente elevado a un exponente mayor en una unidad al de el factor anterior.

4. Se sigue el paso anterior hasta que el exponente de el primer factor sea cero y el de el segundo factor sea igual al de el binomio.

5. Se realizan las multiplicaciones indicadas.

Ejemplos:

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