ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RELACIONADAS A UN ARTICULO DE SU PREFERENCIA EN LA ECONOMIA

Título del ensayo: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RELACIONADAS A UN ARTICULO DE SU PREFERENCIA EN LA ECONOMIA

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Resumen: El objetivo del documento es mostrar cómo el uso de las técnicas de la teoría de sistemas dinámicos ha afectado el rumbo del análisis económico, ya sea favoreciendo el desarrollo de nuevo conocimiento o permitiendo una traducción más completa de las ideas económicas al lenguaje matemático. Por lo general ese crecimiento es exponencial de manera que sigue patrones no lineales. Ese es el objetivo del siguiente estudio, es decir aplicar ecuaciones diferenciales a un problema de carácter económico-ecológico no lineal; es el caso del comportamiento de la población de peces de una especie foránea.

Introducción:

En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales

Por lo general, en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral que se imparten en la UNAM, con respecto a las carreras de economía, demografía, administración y actuaría, se tiene que, los cursos se basan en los conceptos puramente matemáticos o físicos, lo que da como resultado que los alumnos de dichas carreras tengan un alto índice de reprobación en las materias de cálculo.

En la economía moderna ha contemplado la difusión de los instrumentos matemáticos y empíricos en el núcleo de la investigación de prácticamente todas las ramas de la misma, la utilización de la matemática en este caso la ecuaciones diferenciales en la economía es cada vez más común como se refleja en la naturaleza matemática de muchos libros y revistas modernas. Esta introducción de instrumentos y técnicas matemáticas proviene en principio de la preocupación por formalizar la teoría económica y por juzgar su validez que ha estado presente, constantemente, en la economía a lo largo de todo el siglo XX.

En este trabajo se intenta realiza una breve exposición de las características que definen a la economía matemática y los problemas que, en opinión de alguno plantea la utilización de las matemáticas en la economía

Resultados:

Denticiones y conceptos básicos:

Es una ecuación en que la incógnita es una función: no el valor de la función en uno o varios puntos, sino la función en s³ misma. Además, la ecuación involucra no solo la función (incógnita), sino también sus derivadas hasta un cierto orden.

Cuando la incógnita es una función de una sola variable se dice que la ecuación es ordinaria, debido a que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposición a las derivadas parciales de las funciones de varias variables). En términos sencillos, una ecuación diferencial ordinaria, EDO en lo sucesivo, es una identidad en la que aparecen involucradas una función de una sola variable, que es la incógnita a determinar, y sus derivadas sucesivas. Por tanto, la carta de naturaleza de una ecuación diferencial ordinaria está determinada por la presencia de la derivada o las derivadas de una función de una variable. Así pues, la situación más sencilla será aquella en la que en la ecuación sólo aparezca la derivada de la función incógnita, es decir una expresión del tipo

F(t,x(t),x^' (t))=0.

Ecuación lineal de primer orden

Los problemas que estudiaremos en este apartado presentan la particularidad de que su propia estructura permite concluir que cada problema de valores iniciales tiene solución global única, con lo que queda así completamente contestado el problema fundamental. Otra ventaja adicional es que las propiedades cualitativas y cuantitativas de las ecuaciones y de los sistemas lineales generales ya están presentes en este caso, que por supuesto es el más sencillo que podemos plantear.

Y’ = F(x; y);

Donde, F es una función que depende de las variables x e y. Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las mas sencillas, y su resolución se puede realizar utilizando diversas técnicas. Describimos a continuación las más importantes.

Ecuaciones de variables separables

El objetivo de esta sección es describir un método elemental de resolución de algunas EDO de primer orden, concretamente las que denominaremos de variables separables, para poder disponer así de más ejemplos concretos de EDO cuyas soluciones pueden ser obtenidas explícitamente. Como veremos, las EDO de variables separables representan una generalización al caso no lineal de las EDO lineales homogéneas y su técnica de resolución se reduce en esencia al cálculo de primitivas, si bien con un proceso algo más elaborado que el desarrollado en la Introducción

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