Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Muchos problemas en las distintas ciencias, corresponden al estudio de la variación en el tiempo (evolución) de una cierta cantidad. Por ejemplo, cómo crece una población de individuos en un cierto medio o cómo se desintegra un material ra- dioactivo. Algo más complejo, cómo vibra (se mueve) la cuerda de una guitarra, cuando se pulsa.

Matemáticamente, la cantidad estudiada viene dada a través de una función t ›→

x (t), definida en algún intervalo de tiempo I y por tanto su variación corresponde

a la derivada dx

o x′ de dicha función.

Uno de los problemas básicos es el estudio del decaimiento radioactivo, regido por la Ley física que establece que la tasa de disminución de la cantidad de un material radioactivo es proporcional a la cantidad de material presente.

Si la función t ›→ x (t) determina la cantidad de material que hay en cada instante

t, entonces dx es proporcional a x, en cada instante t. Esto es, dx (t) = k · x (t),

donde k es una constante de proporcionalidad. Note que como x disminuye, se debe tener k < 0.

Esta relacion (ecuación) se representa

dx

= kx o x′ = kx

dt

Si se sabe que la función x satisface esta ecuación, ¿cómo debería ser x?

Al reescribir la ecuación como

x′

= k

x

vemos que, al integrar la ecuación (considerando que la cantidad x (t) es siempre positiva):

¸ x´(t)

x (t)

dt =

¸

kdt

ln (x (t)) = kt + c

y luego

x (t) = ekt+c

x (t) = ecekt = Cekt

Si además consideramos que x0 es la cantidad inicial del material, esto es x (0) = x0, encontramos que la función que determina la cantidad de material en cada instante

t está dada por

x (t) = x0ekt , t ≥ 0

siendo k < 0 una constante aún por determinar.

Ejemplo 1 Una cierta cantidad de gas radón es liberado en forma accidental en un laboratorio de manera que la cantidad de gas excede en un 50 % el valor de seguridad permitido. Si se sabe que la vida media de este material es de 3,8 días ¿cuánto tiempo debería permanecer cerrado el laboratorio?

En general, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una relación de igualdad entre las variables x, y, y′, ..., y(n), donde y representa la incognita que corresponde a una función x ›→ y (x) de la variable independiente x, definida en un intervalo I, y además y′, y′′, ..., y(n) son derivadas de la función y. O sea una relación de la forma

F .x, y, y′, ..., y(n). = 0

El orden n de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación se denomina

orden de la ecuación.

Cuando sea posible representar la ecuación en la forma

y(n) = f .x, y′, ..., y(n−1).

se dice que ella está en forma normal.

Ejemplo 2 Son EDOs las ecuaciones:

y′ = 3y , y′′ − 2y′ + y = 0 , 4xdy

= x − y , y′′ + sin y = 0

Una solución para la EDO F .x, y, y′, ..., y(n). = 0 es una función y = ϕ (x) , con

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