El hallazgo de valores y la dirección del vector

1 consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 z_2 siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj

Demostrar que la longitud de Z es igual al producto de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2

Rta/ z=(a+bj)+(c+dj)

z=(ac-cd)+(ad+bc)j

|z|=√((ac-cd)^2+(ad+bc)^2 )

|z|=√(a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2 )

|z|=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 )

z_1=a+bj y z_2=c+dj

|z_1 |=√(a^2+b^2 ) |z_2 |=√(c^2+d^2 )

|z_1 ||z_2 |=(√(a^2+b^2 ))(√(c^2+d^2 ))

|z_1 ||z_2 |=√((a^2+b^2 )^2 〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1 ||z_2 |=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 ) =z

Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la suma de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X

z_1=a+bj y z_2=c+dj

z_1=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) z_2=r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j)r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=r_1 r_2 [(cos⁡θ cos⁡∅-sin⁡θ sin⁡∅ )+(cos⁡θ sin⁡∅+cos⁡〖∅sin⁡θ)j]〗

cos(θ+∅) ∧ sin(θ+∅)

z=r_1 r_2 [cos(θ+∅)+sin(θ+∅)j]

2. consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 〖/z〗_2 donde (z_2 ≠0), siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj

a) Demostrar que la longitud de Z es igual al cociente de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2

Rta/ z= z_1 〖/z〗_2

|z|= √(a^2+b^2 )/√(c^2+d^(2 ) )= √((a^2+b^2)/(c^2+d^(2 ) ))

z_1/z_2 = (a+bj)/(c+dj)* (c-dj)/(c-dj)

z_1/z_2 =((ac+bd)+(cbj-adj))/(c^2+d^2 )

|z_1/z_2 |= √((〖(ac+bd)〗^2+〖(cb-ad)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((〖(a^2+b^2)〗^2 〖(c^2+d^2)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2+b^2)/(c^2+d^2 ))=|z|

b) Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la diferencia de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X

Rta/ z_1=a+bj y z_2=c+dj

z_1=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) z_2=r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=(r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) )/(r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j) )

z=(r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) )/(r_2 (cos⁡〖∅〖+sin〗⁡∅ j〗) )* ((cos⁡∅-sin⁡∅ j) )/((cos⁡〖∅〖-sin〗⁡∅ 〗 j) )

Cos (∅-θ) sin (∅-θ)

z=r_1/r_2 ((cos⁡θ cos⁡∅+sin⁡θ sin⁡∅ j+(-cos⁡〖θ sin⁡∅ j+sin⁡θ 〗 cos⁡∅) )/(〖cos⁡∅〗^2+〖sin⁡∅〗^2 ))

1

z=r_1/r_2 (cos⁡(∅-θ)+ sin (∅-θ) j)

3) Demostrar que la multiplicación de cualquier numero complejo Z por ℮^jθ puede describirse en términos geométricos como una rotación positiva en el ángulo θ del vector representado por Z sin alteración de su longitud.

Rta/ z=r(cos⁡∅+sin⁡∅ )

℮^jθ=(cos⁡θ+jsin⁡θ )

z*℮^jθ=r(cos⁡∅+sin⁡∅ )(cos⁡θ+jsin⁡θ )

z*℮^jθ=r(cos⁡〖∅cos⁡θ-sin⁡∅ 〗 sin⁡θ+(sin⁡〖∅cos⁡θ j+sin⁡〖θ cos⁡∅ j〗 〗 ))

z*℮^jθ=r(cos(θ+∅)+sin(θ+∅))

4) a) si 〖z=A℮〗^jθ , deducir que dz=jzdθ y expresar y explicar el significado de esta relación en un diagrama vectorial

Rta/ 〖z=A℮〗^jθ

dz=jA℮^jθ dθ →dz=jzdθ

jA℮^jθ dθ 〖A℮〗^jθ=z

θ+〖90〗^o

θ

Ambos vectores poseen el mismo radio, se puede decir que tiene la misma amplitud los dos vectores pero la diferencia entre ambos es su ángulo y que el primero lo multiplicamos por J al derivar rotamos el vector 〖90〗^o pero sigue siendo el mismo vector, conserva su magnitud.

Hallar los valores y direcciones de los vectores (2+j√3)y (2-j√3)^2

Rta/ (2-j√3)^2=[(4-3)+j(2(2)(-√3))]

(2-j√3)^2=(1-j4√3) 2

(2-j√3)^2=(1-√48) 2+j√3

2

√1u

√1u

√1u (2-j√3)^2

√1u

√1u

z_1= (2+j√3) Posee una diferencia positiva en el cuadrante 1, con una

|z_1 |= √((2)^2-(√3)^2 )= √(4+3) Magnitud de √7 unidades

z_2= (2-j√3)^2

|z_2 |= √(1+(4√3)^2 )= √(1+48)= √49=7

El vector está ubicado en el IV cuadrante el cual tiene una componente en x positiva “parte real” y una componente en Y negativa “parte imaginaria” y una magnitud de 7unidades.

5) para tomar las derivadas sucesivas de ℮^jθ respecto ha θ, basta multiplicar por J

d/dθ (A℮^jθ )= JA℮^jθ

Demuestre que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación sinusoidal ℮^jθ= cos⁡θ+J sin⁡θ

A(cos⁡θ+J sin⁡θ )=A℮^jθ Derivamos

A(-sin⁡θ+J cos⁡θ )=A℮^jθ Sacamos factor común J

AJ((-sin⁡θ)/J+cos⁡θ )=JA℮^jθ

AJ(J/J*(-sin⁡θ)/J+cos⁡θ )=JA℮^jθ

AJ(cos⁡〖θ+sinθJ〗 )=JA℮^jθ → = JA℮^jθ

℮^jθ

6) dada la relación de ℮^(jθ )=cos⁡〖θ+sin⁡〖θj,〗 〗 hallar

a) la representación geométrica de ℮^(-jθ )

Rta/ ℮^(-jθ )= cos⁡〖θ+sin⁡〖θj 〗 〗

b) la representación exponencial de cos⁡〖θ cosθ〗

Rta/ cos⁡〖θ cosθ〗=(℮^(jθ )+ ℮^(-jθ ))/2

c) la representación exponencial de sin⁡〖θ sinθ〗

7) a) justificar las formulas cos⁡〖θ=((℮^jθ+℮^(-jθ) ))/2 y sin⁡〖θ=((℮^jθ-℮^(-jθ) ))/2J 〗 〗utilizando los desarrollos en serie correspondiente.

Rta/ ℮^jθ= cos⁡〖θ+〗 Jsin⁡θ ℮^jθ = cos⁡〖θ+〗 Jsin⁡θ

℮^(-jθ)= cos⁡〖θ-〗 Jsin⁡θ ℮^(j-θ)= 〖-cos〗⁡〖θ+〗 Jsin⁡θ

℮^jθ+℮^(-jθ)= 2 cos⁡θ ℮^jθ+℮^(-jθ)= 2 Jsin⁡θ

cos⁡θ= (℮^jθ+℮^(-jθ))/2 sin⁡θ= (℮^jθ-℮^(-jθ))/2J

cos⁡〖θ cosθ〗=(℮^(jθ )- ℮^(-jθ ))/2j

8) utilizando las representaciones vectoriales de sin⁡θ 〖 y cos〗⁡θcomprobar las siguientes identidades trigonométricas

Rta/

〖sin〗^2 θ+〖cos〗^2 θ=1

〖sin〗^2 θ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)^2 〖cos〗^2 θ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2

((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)+((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2=1

(〖-℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ))/4+ (℮^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=1

(2℮^jθ ℮^(-jθ)+2℮^jθ ℮^(-jθ))/4=1

(2℮+2℮)/4=1 →(2+2)/4=1 →4/4=1 →1=1

b)-〖sin〗^2 θ+ 〖cos〗^2 θ=cos2θ

〖sin〗^2 θ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)^2 〖cos〗^2 θ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2= cos2θ

(〖-℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ))/(-4)+ (℮^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=cos2θ

(〖℮^2jθ-2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ)+℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=cos2θ

(〖2℮〗^2jθ+2℮^(-2jθ))/4=cos2θ

(℮^2jθ+2℮^(-2jθ))/2=cos2θ

cos2θ=cos2θ

c)2sinθcosθ=sin2θ

sinθ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J) cosθ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)

2((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)=sin2θ

(℮^2jθ-℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ)+℮^jθ ℮^(-jθ))/2J=sin2θ

(℮^2jθ-℮^(-2jθ))/2J=sin2θ

sin2θ=sin2θ

9) Se puede pagar 20 céntimos de un objeto valorado por un matemático con J^j pesetas?

Recuerde que 〖(cos〗⁡〖θ+〗 sin⁡〖θ=〗 ℮^jθ)

cos⁡θ= sin⁡〖(θ+π/2) y sin⁡θ= 〖-cos〗⁡〖(θ+π/2) 〗 〗

℮^jθ=cosθ+jsinθ

℮^jθ=sen(θ+π/2)-jcos(θ+π/2) ℮^jθ

〖j℮〗^jθ=jsen(θ+π/2)+cos(θ+π/2) ℮^(-jθ)

〖j℮〗^jθ= ℮^(j(θ+π/2))→ j^(-j) ℮^(-θ)= ℮^(-θ) ℮^(-π/2)

j^(-j)= ℮^(-π/2)

j^(-j)= 0,2 pesetas ≈20 centimos

10) comprobar que la ecuación diferencial (d^2 y)/(dx^2 )= -ky

y tiene por solución y=Acos(kx)+Bsin(kx). Siendo Ay B constantes arbitrarias. Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma

y=[Ccos⁡(kx+∝) ]= CR〖[℮〗^j(kx+∝) ]=CR℮〖[℮〗^j(kx+∝) ]=R℮〖[(C℮〗^(j∝)) ℮^jkx] y

Expresar C y α en función de A y B

y=Acos(kx)+B sin⁡(kx)

dy/dx= -Akx sinkx+Bkx coskx}

dy/dx= 〖-Ak〗^2 coskx〖-Bk〗^2 sinkx

(d^2 y)/〖dx〗^2 = 〖-k〗^2 (A cos⁡(kx)++B sin⁡(kx))

Y

(d^2 y)/〖dx〗^2 = 〖-k〗^2 y

(d^2 y)/〖dx〗^2 = k^2 y

k^2= k^y

(d^2 y)/〖dt〗^2 = 〖-ω〗^2 Acos(ωt+∝)

(d^2 y)/〖dt〗^2 = A(t)

A_(8⁄3)= -0,05(2π)^2 cos⁡(2π(8/3)+90)in

A_(8⁄3)= -1,709465627 m/s^2 → A_(8⁄3)= -√3/10 π^2 m/s^2

11)Una masa al extremo de un muelle oscila con una magnitud de 5 cm y una frecuencia de 1Hz(ciclos por segundo). Para T=0, la masa esta en su posición de equilibrio(X = 0).

a) A=5cm F=1〖sg〗^(-1 ) t=0 X_((0))=0 ω=2πt

ω=2π(1Hz)

ω=2πf=2π∅=± π/2

dy/dx= -10π sin⁡(2πt±π/2)

(d^2 y)/(dx^2 )= -20π cos⁡(2πt±π/2)

A= √(X_((0))^2+(V_((0) )/ω)^2 )

∅=Arctan(V_((0) )/(cosX_((0)) ))

∅=±π/2

X_((8/3))=5 cos⁡(2π 8/3±π/2) = 5 cos⁡(16π/3±π/2)

= 5[cos 16π/3*cos π/2∓sin⁡〖16π/3*〖sin±〗⁡〖π/2〗 〗 ]

= 5 sin⁡〖16π/3〗= (5√3)/2=4,3cm

t= 8/3 ; a=5cm ; ω=2πf →2π

f=1〖sg〗^(-1)

X=Acos(ωt+∅) t=0 X_((0) )=0

X=5 cos⁡(2πt±π/2) A=√(X_((0))^2+(v_((0))/ω)^2 )

ω=2πf ∅=arctan⁡(-v_((0))/〖ωx〗_((0)) )

ω=2π(1Hz) ∅=±π/2

ω=2π(12rad)

∅=±π/2

dy/dx= -10π sin⁡(2πt±π/2)

(d^2 y)/(dx^2 )= -20π cos⁡(2πt±π/2)

X_((8/3))=5 cos⁡(2π 8/3±π/2) = 5 cos⁡(16π/3±π/2)

= 5[cos 16π/3*cos π/2∓sin⁡〖16π/3*〖sin±〗⁡〖π/2〗 〗 ]

= 5 sin⁡〖16π/3〗= (5√3)/2=4,3cm

X_((8/3))=-10 πsin⁡(16π/3±π/2)

X_((8/3))= [sin 16π/3*cos π/2±sin⁡〖π/2*cos⁡〖16π/3〗 〗 ]

X_((8/3))= ± 10π/2= ±5π cm⁄sg

X_((8/3))= (4π^2 5√3)/2=10π^2 √3 cm⁄〖sg〗^2

como (d^2 y)/(dx^2 )= -ω^2 x

12) un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50cm/sg. El periodo de una vuelta completa es 6 seg para T = Ø la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un ángulo de 〖30〗^o con el eje X.

a) obtener la ecuación de la coordenada X del punto en función del tiempo, en la forma

x=Acos(ωt+α) Conocidos los valores numéricos de A,ω y α

2= πf= ω; ω=2π rad/seg ; A=0,05m ; α=?; x_o=0; t_o=0;

0=0,05m cos⁡(2πϕ+α)

cos⁡(2πϕ+α)=0→ α= 〖cos〗^(-1) (ϕ) → α= 〖90〗^o

x_1=0,05m cos⁡(2πt+〖90〗^o )

b) cuales son los valores de X, dx/dy y (d^2 x)/〖dt〗^2 para t= 8/3 sg

x_t= 0,05m cos⁡(2πt+〖90〗^o ) t= 8/3 sg

x_(8/3)= 0,05m cos⁡(2π 8/3+〖90〗^o ) → x_(8/3)=√3/40 m

dx/dt= -2π*0,05m(sin⁡(2π(8/3)+〖90〗^o ) )

dx/dt=V_(t )→ V_(8/3 )= π/20 m⁄s

Y=Ccos(kx+α)

Y=C[coskx cosα-sinkx sinα] ①

Y=[Acoskx+Bsinkx]②

Ccoskx cosα-Csinkx sinα= Acoskx+Bsinkx

A=Ccosα → 〖 A〗^2 C^2 〖cos〗^2 α

B=Csinα → 〖 B〗^2 C^2 〖sin〗^2 α

〖 A〗^2+B^2= C^2 (〖cos〗^2 α 〖sin〗^2 α)

〖 C^2= A〗^2+B^2

C= √(A^2+B^2 ) → A= √(A^2+B^2 ) cosα y B= √(A^2+B^2 ) sinα

α=arCcos(A/√(A^2+B^2 )) → α=arCsin(B/√(A^2+B^2 ))

INFORME DE LABORATORIO N°1

OSCILACIONES Y ONDAS: Oscilador armónico

MATERIA: ONDAS

GRUPO: 03

ALUMNO:

RICHARD ALBERTO FUENTES MOLINA

PROFESOR:

TOMAS MERCADO

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

Valledupar, 21 de marzo del 2014

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