Esfuerzos Normales

RAICES MULTIPLES

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de:

La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero.

Dificultades del metodo de raices multiples

1. El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados.

2. Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la raíz: esto afecta a los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas. Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Pero f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f’(x) llegue a cero.

3. El método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples.

Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema. Cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática

donde m es la multiplicidad de la raíz;

m = 2 para raíz doble

m = 3 para raíz triple

m = 4 para raíz cuádruple

En esta modificacion se requiere conocer las multiplicidades

Otra forma de encontrar las raíces es definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:

Metodo de Newton-Raphson modificado para raices multiples

EJERCICIO

Hallar las raices del siguiente ejercicio con xi=0

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