Fluidos Incomprensibles

6. FLUJOS IDEALES INCOMPRESIBLES E IRROTACIONALES

El potencial de velocidad

El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler

d

dt

u p

= g −

∇

ρ

(6.1)

que ya tratamos en los Capítulos 4 y 5. Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas

situaciones de interés práctico, los efectos de la viscosidad de los fluidos reales quedan limitados

a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde tienen lugar fuertes gradientes de la

velocidad (capas límite, ver el Capítulo 7, o regiones donde el flujo es turbulento), mientras que

en el grueso del flujo los efectos de la viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer

ideal. De acuerdo con los resultados del Capítulo 5, en las regiones materiales de flujo ideal no

se crea ni se destruye vorticosidad, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue

siendo nula en todo otro momento.

Una de las propiedades fundamentales de los fluidos invíscidos es que puede haber flujos que

son permanentemente irrotacionales, es decir que ∇ × u = 0 en todos los puntos del fluido. Si

además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones

∇⋅u = 0 , ∇ × u = 0 (6.2)

La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que u deriva de un potencial de velocidad φ,

esto es

u = ∇φ (6.3)

y la incompresibilidad implica entonces

∇2 = + + =

2

2

2

2

2

2 φ 0

∂ φ

∂

∂ φ

∂

∂ φ

x y ∂z

(6.4)

Por lo tanto φ satisface la ecuación de Laplace, que junto con la (6.3) determina u(r,t) . Viceversa,

la existencia de una función escalar φ que satisface la ecuación (6.4) implica la existencia

de una función vectorial u = ∇φ que cumple las condiciones (6.2), como se puede verificar fácilmente.

Los flujos para los cuales se cumple la (6.3) se denominan flujos potenciales. Claramente,

la (6.3) implica que las líneas de corriente de un flujo potencial son ortogonales a las superficies

equipotenciales, definidas por φ = cte..

En los flujos potenciales, la ecuación de movimiento (5.8) adopta la forma (5.13)

∂φ

∂

ϕ

t ρ

u p

+ + + = f t

2

2

( ) (6.5)

donde ϕ indica el potencial de las fuerzas de volumen, como ya vimos en el capítulo anterior. En

esta aproximación φ, y entonces u, quedan determinados por una ecuación lineal (la ecuación de

Laplace). Sin embargo, de acuerdo con la (6.5) p depende de u en forma no lineal.

6. Flujos ideales incompresibles

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La solución de un problema de flujo potencial consiste pues en la determinación de dos magnitudes,

φ y p, para lo cual disponemos de las dos ecuaciones escalares (6.4) y (6.5). Aún así, el

problema es sencillo sólo para flujos estacionarios. Nótese, sin embargo, que si las condiciones

de contorno no involucran la presión, la ecuación de Laplace para φ se puede resolver sin necesidad

de conocer p; en tal caso, la (6.5) sólo sirve para calcular p una vez determinado φ.

Debido a que la ecuación de Laplace es lineal, las combinaciones lineales de soluciones son

también soluciones de la misma. Se puede entonces construir el campo de velocidad de un problema

de flujo potencial superponiendo soluciones simples ya conocidas, de forma tal de satisfacer

las condiciones de contorno correspondientes a la solución buscada. Por otra parte, del

mismo modo que en la Electrostática cuando se calcula el potencial eléctrico de una distribución

de cargas, podremos escribir el potencial de velocidad de un flujo potencial en forma de un desarrollo

multipolar. Tal desarrollo corresponde a la suma de los potenciales elementales asociados

a distribuciones de fuentes de fluido de complejidad creciente (fuente única, dipolo, cuadrupolo,

… etc.). De esta forma veremos que el campo de velocidad de flujos simples, como el flujo

alrededor de un obstáculo esférico o cilíndrico, se puede escribir como una combinación lineal

del potencial de velocidad correspondiente a un flujo uniforme y el potencial de velocidad de un

dipolo.

Otra técnica para resolver la ecuación de Laplace consiste en buscar soluciones en

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