Funcion Cuadratica

Antes de comenzar, se analizará junto con los alumnos la siguiente información sobre la función cuadrática:

- Toda función cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Esta forma de escribir a la función cuadrática se denomina polinómica.

- El gráfico de una función cuadrática está formado por puntos que pertenecen a una curva llamada parábola. Miren el gráfico y vean los elementos que se distinguen en él:

Raíces (raíz1 yraíz2): las raíces o ceros de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

Podemos determinar las raíces de una función cuadrática igualando a cero la función f(x) = 0, y así obtendremos la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx +c = 0

Para calcular las raíces se utiliza la siguiente fórmula:

Eje de simetría (eje): representa la recta vertical simétrica con respecto a la parábola.

El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión:

donde x1 y x2son las raíces de la función cuadrática.

Vértice (vértice): el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos xv  y a la y, yv. El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: V =(xv; yv).

Las coordenadas del vértice también pueden hallarse analíticamente por las siguientes expresiones:

El valor xv se obtiene con la misma expresión que el eje de simetría:

Una vez obtenido el valor xv podemos determinar yv evaluando la función cuadrática yv = f(xv).

2) A partir de lo analizado anteriormente, contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Una función cuadrática tendrá siempre dos raíces?

b) ¿El gráfico de la función cuadrática será siempre una parábola cóncava (con las ramas hacia arriba), como se muestra en el gráfico?

Actividad

Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen las funciones . Luego señalen las raíces, el vértice y su eje de simetría.

a) f(x) = x² - 2x - 1

b) f(x) = x² + 2x + 1

c) f(x) = x² - 2x

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