Matematica Financiera

MATEMÁTICA FINANCIERA PARA CICLOS DE ADMINISTRACIÓN

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4.2. Rentas constantes.

4.2.1. Valor actual y final renta pos pagable, temporal, inmediata y unitaria.

Veamos ahora el cálculo del valor actual y final de una renta unitaria, temporal, pospagable e inmediata (además de constante, discreta, periódica y cierta; pero esto no lo repetiremos porque así serán todas las que veamos mientras no se diga lo contrario).

Supongamos una renta de cuantía 1 durante n períodos, con vencimiento del término al final de cada período y valorada en el origen. Esa valoración en el origen se denomina valor actual. Tendremos entonces una sucesión que si la descontamos con un determinado tipo de interés i y sumamos sus valores tendremos el valor actual de la renta.

1 *(1 +i)-1 +1 *(1 +i)-2 +1 *(1 +i)-3 +..... +1 *(1 +i)-n

Esa expresión se representa como an,i. Y su valor es:

an,i = [1- (1+i)-n] / i

El valor final puede obtenerse multiplicando el valor actual por (1 +i)n, con lo que trasladaríamos ese valor actual hasta el final de la duración de la renta. O bien calcular la suma de la sucesión que forman los términos trasladados al final de la duración de la renta.

1* (1 +i)n-1 +1 *(1 +i)n-2 +.....+1

Esa expresión se representa como un,i. Y su valor es:[1]

un,i = [(1+ i)n-1] / i

Ejemplo 4-1. Valor actual y final renta pospagable, temporal, inmediata y unitaria.

Calcular el valor actual y final de una renta pospagable de 1 € con un tipo del 5% durante seis años.

El valor actual será

an,i = [1- (1+i)-n] / i = [1- (1+0,05)-6] / 0,05= 5,08 €

El valor final será

un,i = [(1+ i)n-1] / i = [(1+ 0,05)6-1] / 0,05= 6,80 €

Al mismo resultado debemos llegar trasladando el valor actual al momento final multiplicándolo por (1+ i)n

un,i = an,i* (1+ i)n = 5,075692067 * (1+ 0,05)6= 6,80 €

4.2.2. Valor actual y final renta prepagable, temporal, inmediata y unitaria.

Ahora si los términos se entregan al principio de cada periodo las expresiones del valor actual y final pueden obtenerse a partir de las pospagables multiplicadas por (1 +i).[2]

El valor actual prepagable se representa como än,i y el valor final prepagable como ün,i.

än,i = an,i*(1 +i)

ün,i = un,i*(1 +i)

Ejemplo 4-2. Valor actual y final renta prepagable, temporal, inmediata y unitaria.

Calcular el valor actual y final de una renta pospagable de 1 € con un tipo del 5% durante seis años.

El valor actual será

än,i = an,i*(1 +i) = {[1- (1+0,05)-6] / 0,05} *(1+ 0,05)= 5,075692067 * (1,05)= 5,33 €

El valor final será

ün,i = un,i*(1 +i) = {[(1+ 0,05)6-1] / 0,05}= 6,801912812 *(1+ 0,05)= 7,14 €

4.2.3. Valor actual de una renta pospagable/prepagable, perpetua, inmediata y unitaria.

En el caso de que la renta no tenga determinada su duración, es decir, que el número de términos no este definido, se dice que la renta es perpetua.

Las rentas perpetuas pueden calcularse a partir de las temporales teniendo en cuenta que cuando el número de términos tiende a infinito el operador an,i se transforma en 1 /i.[3]

El valor actual de una renta pospagable y perpetua se representa como ai.

El valor actual de una renta prepagable y perpetua se representa como äi.

Como es lógico pensar las rentas perpetuas no poseen valor final, ya que no se llega nunca a su final.

ai = 1 /i

äi = (1 +i) /i

Ejemplo 4-3. Valor actual de una renta pospagable/prepagable, perpetua, inmediata y unitaria.

Calcular el valor actual de una renta pospagable y prepagable de 1 € con un tipo del 5% de forma perpetua.

El valor actual de la pospagable será

ai = 1 /0,05 = 20 €

äi = (1 +0,05) /0,05= 21 €

4.2.4. Valor actual y final de una renta pospagable/prepagable, temporal/perpetua, anticipada o diferida y unitaria.

Las rentas anteriores eran inmediatas, se valoraban en algún momento entre su inicio y su final. Cuando valoramos una renta antes de su inicio

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