Matematica

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Una función es diferenciable a trozos o continuamente diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos. Una función f definida a trozos puede estar representada por varias expresiones matemáticas (algebraicas y/o trascendentales) de cualquier tipo.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto:

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática (la función -x) es utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el resultado siempre positivo. Para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

Sea la función definida a trozos f(x), se evalúan varias expresiones del dominio de f:

x f(x) Función utilizada

−3 3 −x

−0.1 0.1 −x

0 0 x

1/2 1/2 x

5 5 x

Por lo tanto, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para que el valor del rango sea el correcto.

GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

Una función definida a trozos tiene distintas expresiones algebraicas dependiendo del intervalo de su dominio.

La siguiente función está definida a trozos:

Está función tiene dos trozos , uno hasta que la x llegue a cero donde tengo que representar y otro a partir de que la x valga cero donde tengo que representar la función :

-Las funciones son las que tienen distinta expresión algebraica según el intervalo en el que están definidas. Su gráfica será diferente en cada intervalo.

Intervalos

Los intervalos representan regiones de la recta real. Se pueden escribir de diferentes formas:

(-∞, 0] es lo mismo que:

-∞ < x ≤

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