Matematicas Para Psu

RESUMEN PSU MATEMÁTICA

I. INECUACIONES

Las desigualdades son todas aquellas expresiones algebraicas que poseen alguno de los cuatro símbolos de desigualdad (≤,≥,<,>). Los ≤,≥ se grafican con un punto negro y los <,> con un punto blanco.

Se distinguen la desigualdad absoluta, una desigualdad universal (x2≥ 0), y la inecuación, una desigualdad condicionada (x+1≥0, si x≥-1). Las inecuaciones cumplen con las siguientes propiedades (para a<b):

-Tricotomía: a<b ó a=b ó a>b (sólo una)

-Transitividad: Si a<b y b<c, entonces a<c

-Adición:a+c<b+c

-Multiplicación: Si c>0, a*c<b*c

Si c<0, a*c>b*c

Ejemplo 1: x2-2 ≤ 7

x2-2 +2 ≤ 7 +2

x2≤ 9

Cumple para x ≥ -3 y x ≤ 3

Solución [-3,+∞[y ]-∞,3], o sea [-3,3]

Este es un caso de intersección, ya que se coincide en un conjunto de números

Ejemplo 2: 6/x <3

Evaluaremos para un x<0 y un x>0

6>3x 6<3x

2>x(x<0)2<x

Solución ]-∞,0[ U ]2,+∞[

Este es un caso de unión, ya que no hay ni un punto en común entre las soluciones.

Para resolver un sistema de inecuaciones, primero hay que buscar las soluciones (en función de x) para cada inecuación independiente de la otra y después analizarlas en conjunto. Ejemplo:

x>½ y x≤ ⁵₂ = < x½≤ ⁵₂

II. FUNCIONES

Una función es una regla que relaciona los elementos de dos conjuntos: el dominio (preimagen x) y el codominio (imagen y),

de este último se deriva el recorrido que corresponde sólo a los “y” relacionados.

Las funciones se pueden clasificar en:

-Función inyectiva: Todas las “x” están relacionadas con sólo una “y”

-Función epiyectiva: Todas las “y” están relacionadas con una “x” o más

-Función biyectiva: Son inyectivas y epiyectivas al mismo tiempo, es decir, las “y” están relacionadas con una “x” o más, pero las “x” están relacionadas sólo a una “y”.

De la función biyectiva coexiste la función inversa (aquella cuyo dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido igual al dominio de la función original).

Funciones par e impar

Una función es par cuando f(x)= f(-x)

Una función es impar cuandof(x)= -f(-x)

Composición de funciones

Se define la composición entre f(x) y g(x) de la formagof o g(f(x))y se desarrolla así:

Si f(x)=2x y g(x)= 5x + 4 +x

gof = 5(2x)+4+(2x) = 10x+4+2x = 12x+4

Representación gráfica de las funciones

Hay que considerar que f(x)=y. Al remplazar “x” por un valor, obtendremos un valor para “y”, lo cual corresponde a un punto P(x,y), el que se grafica en el plano cartesiano.

y

x

Algunas funciones importantes

1) FUNCIÓN AFÍN

Gráficamente es una línea recta de la forma ax+by+c=0 y su función esf(x)=mx + n, donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición (intersección en y, también –b/c).

 Un caso particular de la función afín, es la función lineal de la forma f(x)=mx y se distingue porque pasa por el origen (0,0).

Fórmulas para las rectas

-Pendiente: (y2-y1)/(x2-x1)o –a/b

-Ecuación de la recta: y-y1=m(x-x1)

-Punto medio: [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2]

-Distancia entre 2 puntos:√(y2-y1)2 + (x2-x1)2

-Distancia punto-recta: |ax1+by1+c|/ √a2+b2

Relación entre rectas

-Rectas paralelas: m1=m2 y n1≠n2

-Rectas coincidentes: m1=m2 y n1=n2

-Rectas perpendiculares: m1*m2= -1

-Rectas secantes: m1≠m2

Intersección entre rectas

Consiste en encontrar, mediante un sistema de ecuaciones, un punto que pertenezca a ambas rectas. Ejemplo:

L2: y=(⁶₅)x +⅕

L1 : y=2x+3

2x+3=(⁶₅)x +⅕

10x+15=6x+1

4x=-14

x= -14/4= -7/2

Ahora remplazamos el valor de x en cualquiera de las rectas L1 o L2

y=-4

El punto de intersección es (-⁷₂ ,-4)

2) FUNCIÓN CUADRÁTICA

Gráficamente es una parábola y su función es f(x)=ax2+bx+c.

El parámetro “a” se analiza así:

-Cuando a > 0, la parábola será “feliz”.

-Cuando a = 0, la parábola no existe.

-Cuando a < 0, la parábola será “triste”.

El parámetro “c” indica dónde corta al eje y:

-Cuando c > 0, intersecta en un N° positivo.

-Cuando c = 0, intersecta en el origen (0,0).

-Cuando c < 0, intersecta en un N° negativo.

Para encontrar las intersecciones en el eje x o soluciones de la ecuación cuadrática, podemos factorizar o aplicar la fórmula general[(-b±√b2-4ac)/2a]. De esta última sale el concepto de discriminante (b2-4ac), que nos revela cuántas soluciones hay:

-Cuando b2 -4ac > 0, dos soluciones.

-Cuando b2 -4ac = 0, una única solución.

-Cuando b2 -4ac < 0, sin solución.

Otra parte importante de la parábola es su vértice (punto donde cambia de dirección), cuyas coordenadas son [-b/2a ,f(-b/2a)].

La “x” del vértice corresponde también al eje de simetría de la parábola (cuando b=0, el eje de simetría coincide con el eje y), mientras que la “y” corresponde al remplazo de nuestra nueva “x” (-b/2a) en la función cuadrática original, es decir, a

f(-b/2a)=a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c.

y

“feliz”

x

2 soluciones

3) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Gráficamente es una “V” y su función es f(x)=|x|, donde tanto a los números positivos como al 0 los deja igual, pero a los negativos les cambia el signo, así:

x f(x)

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

Claro que esta gráfica sólo corresponde a la forma más básica de la función, ésta puede ir variando. Ejemplo: f(x)=|x| -2 óf(x)=|x+1|.

4) FUNCIÓN PARTE ENTERA

Gráficamente es una “escalera” y su función es f(x)=[x], donde “x” siempre se asocia a su menor entero, de esta manera al 1,8 lo lleva al 1 y al -1,2 al -2.

x f(x)

-2 -2

-1,2 -2

-0,5 -1

0 0

0,5 0

1,9 1

2,5 2

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