Matematicas

SIMULACRO DEL TALLER SOBRE

COORDENADAS POLARES

Objetivo General

Conocer el sistema de coordenadas polares y adquirir habilidades para representar puntos,

estudiar curvas representadas en forma polar y calcular rectas tangentes, longitud de arco y áreas.

Objetivos específicos

1) Dado un sistema de coordenadas polares en el plano, y un punto del mismo plano, hallar todas

las posibles coordenadas del punto en el sistema dado.

2) Dado un sistema de coordenadas polares en el plano y un par de números reales, hallar un

punto del plano que tenga por coordenadas a los dos números reales.

3) Dada una curva representada en forma polar, decidir si un punto pertenece o no a la curva.

4) Pasar de una representación de una curva en coordenadas polares a una representación en

coordenadas cartesianas y viceversa.

5) Calcular rectas tangentes a curvas dadas por una ecuación polar.

6) Calcular áreas de regiones planas limitadas por curvas dadas por ecuaciones polares.

7) Hallar la longitud de arco de una curva dada en forma polar.

2

1. Introducción. Definición de coordenadas polares

Un sistema de coordenadas en el plano permite asociar a cada punto P del plano un par

ordenado de números reales llamados coordenadas. Hasta ahora, se ha utilizado el sistema de

coordenadas cartesianas.

A continuación, se describe un nuevo sistema de coordenadas denominado sistema de

coordenadas polares:

Los elementos de referencia son un punto fijo llamado polo que se identifica con la letra O

y una semirecta fija que parte del polo O, llamada eje polar (coincide con el semieje positivo de

las x).

Sea P cualquier punto del plano, en coordenadas polares se representa por el par ordenado

   , r P

, con r = d(O,P) ≥ 0, que es la distancia de P al polo, y θ la medida del ángulo

(generalmente en radianes), entre el eje polar y la semirecta

OP

(un ángulo es positivo si se mide

en sentido contrario a las agujas del reloj).

El número r se denomina coordenada radial y el número θ coordenada angular.

Si P = O (polo) entonces r = 0 y θ cualquiera.

Las coordenadas polares de un punto P no son únicas. Si un punto P tiene coordenadas

polares

   , r

, entonces (r, θ + 2kπ) con

  k

también son coordenadas polares de P. Si r > 0,

el punto

   , r P

está en el mismo cuadrante que θ.

Si se consideran coordenadas radiales negativas, los puntos

   , r

y

   , r 

están en la

misma recta que pasa por O y a la misma distancia

r

de O, pero en lados opuestos de O.

Además, si se consideran coordenadas radiales negativas, se conviene que

   , r 

y

     , r

son las coordenadas polares del mismo punto. Si r < 0 el punto está en el cuadrante

del lado opuesto del polo.

En general, se puede decir que si un punto P del plano está representado por coordenadas

polares

   , r

, también está representado por las coordenadas

    k r 2 , 

y

      1 2 ,    k r

,

  k

.

θ

P (r,θ)

r

O

polo

eje polar A

3

Así por ejemplo: el punto













4

5

, 2



P

se puede escribir















4

, 2



P

, donde el signo menos

sirve para indicar que el punto se encuentra en la prolongación del lado terminal del ángulo.

Las coordenadas polares de un punto P (que no es el polo) son únicas sólo cuando

r > 0 y 0 ≤ θ < 2π.

Ejemplo:

Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:

1) (3,0) 2)













4

, 7



3)

    ,

4) (−2, 30°) 5)















3

,

2

1 

(π,π)

(−2, 30°)













4

, 7



eje polar (3,0)

x















3

,

2

1 

4

Ejercicios

1.1) Ubique, en un sistema de coordenadas, los puntos que correspondan a las siguientes

coordenadas polares:

i)















4

3

, 2



ii)













3

2

,

2

1 

iii)















6

, 2





iv) (−4, 90°)

(2 puntos)

Solución:

1.2) Ubique el punto que corresponde a las coordenadas polares













4

, 2



y dar otras 4

representaciones del mismo punto en coordenadas polares, dos de las cuales tengan r < 0.

(2 puntos)

Solución:

O

(polo)

eje polar

O

(polo)

eje polar

5

2. Relación entre coordenadas polares y cartesianas

a) Si

   , r

es la representación polar de un punto P, se pueden utilizar las razones

trigonométricas para hallar sus coordenadas cartesianas ( x,y), luego:

b) Para determinar r y θ cuando se conocen x y y, se utilizan las ecuaciones:

que se deducen de (1).

eje polar x

θ

P (r,θ) = P (x,y)

r

O

  cos cos r x

r

x

     sen sen r y

r

y

  

(1)

2 2 2

y x r  

x

...