Metodos Numericos (tipos De Errores)

Cálculo del Error

Introducción

∀ x ϵ R; sea x=±0,d_1 d_2 d_3… d_k x〖10〗^σ; con σ ϵ Z

1≤d_1≤9; con 0≤d_i≤9; ∀i=2,3,4, … ,k

A esto se llama notación científica

Si se tiene x=±0,d_1 d_2 d_3… d_k d_(k+1) d_(k+2)… ∙〖10〗^σ; con keN y σ ϵ Z

Y deseamos denotar dicho x ϵ R; con los dígitos; ∃2 formas de cortar dicho x ϵ R; a saber:

Truncamiento(ó corte): simplemente se cortan(ó se eliminan) los dígitos d_(k+1).d_(k+2)

Y se tiene x=±0,d_1 d_2 d_3… d_k ∙〖10〗^σ

Redondeo : Sí d_(k+1)≥5; se agrega 1 al digito d_k

: Sí d_(k+1)<5; se cortan todos los dígitos : d_(k+1).d_(k+2)

Ejemplo.-

Sea x=0,98749621x〖10〗^16 ; con 4 dígitos

Por truncamiento : x=0,9874x〖10〗^16

Por redondeo : x=0,9875x〖10〗^16 (ya que el 5to. dígito

es ≥5→ al número 4 se le agrega 1)

Definiciones:

Sea X^* (ó X ̅ ó X ̂ ) una aproximación de X ( X: se llama “valor exacto”). Entonces:

El error absoluto de X^*; denotado por E_A (X^*) y se define como :

E_A (X^*) = |X-X^* | (≡ |X^*-X|)

El error relativo de X^* ; denotado por E_R (X^* ) y se define como :

E_R (X^* )= (E_A (X^* ))/|X| = |X-X^* |/|X| con X≠0

El error relativo porcentual de X^* ; se denota por 〖 E〗_(R%) (X^* ) y se define como :

〖 E〗_(R%) (X^* )= E_R (X^* ).100≡|X-X^* |/|X| .100 (X≠0)

Las definiciones anteriores sólo funcionan en el papel; ya que en la práctica (en la realidad numéricamente); X no se conoce (X: valor exacto no se conoce; sólo se conoce X^* el valor aproximado !!!!!! ).

De allí que sólo tendremos ESTIMACIONES DE ESTOS ERRORES. Así entonces diremos que:

|E_A (X^* )|≤ε; para ε>0 dado ↔0<|X-X^* |≤ε

↔ -ε≤ X-X^*≤ε /+X^*

X^*-ε ≤X≤〖 X〗^*+ε

X ϵ R

¯(X^*-ε X^(* ) X^*+ε)

[X^*- ε,〖 X〗^*+ε ] : llamado intervalo de precisión

Observación.-

De manera inversa: Sea I(X)=[a,b] y sea Xϵ [a,b], entonces:

|X-X^* |≤ Máx {X^*-a,b-X^* }≤ ε (se define así !)

X ϵ R

( a X X^(* ) b ) ̅

∴ |X-X^* |=E_A (X^* )≤ε

Sí en particular:

├ ■(X^*= (a+b)/2→ X^*-a= (a+b)/2-a= b/2-a/2@b-X^*=b-((a+b)/2)=b-a/2-b/2= b/2-a/2)}→Máx{X^*-a,b-X^* }≤ (b-a)/2=ε (“se define”)

Refinamos ahora el concepto de DIGITO SIGNIFICATIVO (D.S)

Def.- Sea X∈R y sea X^*=±0,d_1 d_2 d_3… d_n x〖10〗^σ; con d_1≠0 ; n∈N ; σ ϵ Z

Hablaremos de una aproximación de m dígitos significativos de X; si existe m;

talque,

|E_A (X^* )|≤0,5 ∙ 〖10〗^(σ-m) ; con 1≤m≤n

Ejemplo 1.-

Determine el número de dígitos significativos para: X=18,376 y X^*=18,374

Sol.-

Sea X^*=18,374 =0,18374 ∙〖10〗^2→ σ=2

Sabes que:

|E_A (X^* )|≤0,5 ∙ 〖10〗^(σ-m) ; con 1≤m≤n (*)

Pero

|E_A (X^* )|=|X-X^* |= |18,376-18,374|=0,002<0,005=0,5 ∙〖10〗^(-2)

Luego en (*) :

0,5∙〖10〗^(2-m)= 0,5∙〖10〗^(-2) → 2-m=-2 ↔ -m=-4 ↔m=4

→ X^*=18,37 ( 4 dígitos significativos)

Ejemplo2.- Determine el número de dígitos significativos para X=0,01248 y X^*=0,01254

Sol:

X^*=0,01254=0,1254∙〖10〗^(-1)→σ=-1

|E_A (X^* )|=|X-X^* |=|0,01248-0,01254|=0,00006

→|E_A (X^* )|=0,00006<0,0005=0,5∙〖10〗^(-3)=0,5∙〖10〗^(σ-m)

→-3=-1-m

→-2=-m → m=2

→X^* tiene justo, 2 D.S.

PROPAGACIÓN DE ERRORES EN ARÍTMETICA DE PUNTO FLOTANTE

├ ■(Sean: E_A (X ̅ )=X-(X ) ̅ ↔ X ̅ = X-E_A (X ̅ ) @ @ E_A (Y ̅ )=Y-(Y ) ̅ ↔ Y ̅ = Y-E_A (Y ̅ ) )⌋

Donde

X:valor exacto; X ̅ ∶valor aproximado

Calculamos ahora los errores propagados en:

Adición:

E_A (X ̅+Y ̅ )=(X+Y)-(X ̅+Y ̅ )=(X-X ̅ )+(Y-Y ̅ )=E_A (X ̅ ) + E_A (Y ̅ )

E_R (X ̅+Y ̅ )=(E_A (X ̅+Y ̅ ))/(X+Y)=(E_A (X ̅ ̅ ))/(x+y)+(E_A (Y ̅ ̅ ))/(x+y)

E_R (X ̅+Y ̅ )=(E_A (X ̅ ))/X∙X/(X+Y)+(E_A (Y ̅ ̅ ))/Y∙Y/(X+Y)

E_R (X ̅+Y ̅ )=E_R (X ̅ )∙X/(X+Y)+E_R (Y ̅ )∙Y/(X+Y)

Resta Idem

Multiplicación:

〖 E〗_A (X ̅∙Y ̅ )=(X∙Y)-(X ̅∙Y ̅ )=(X∙Y)-(X-E_A (X ̅ ) )∙(Y- E_A (Y ̅ ) )

E_A (X ̅∙Y ̅ )=(X∙Y)-(X∙Y)+ X∙E_A (Y ̅ ) ) + Y∙E_A (X) - E_A (X ̅ )∙E_A (Y ̅ ) (**)

En particular

├ ■( E_A (X ̅ )≪1 (mucho mejor que 1)@@ E_A (Y ̅ )≪1 (mucho mejor que 1))}→E_A (X ̅ )∙E_A (Y ̅ ) ≈0

Luego en (**) ↔〖 E〗_R (X ̅ ∙Y ̅ )=X∙E_A (Y ̅ )+Y∙E_A (X ̅ )

Análogamente:

E_R (X ̅ ∙Y ̅ )=(E_A (X ̅∙Y ̅ ))/(X∙Y)=(〖X∙E〗_A (Y ̅ ))/Y+(Y∙E_A (X ̅ ̅ ))/X = E_R (Y ̅ )+E_R (X ̅ )

(siempre que se tenga en cuenta que: E_A (X ̅ )≪1 ; E_A (Y ̅ )≪1)

División:

Se demuestra que: E_A (X ̅/Y ̅ )=E_A(X ̅ ) /Y- E_A(Y) /Y^2 ∙X y además:

E_R (X ̅/Y ̅ )=E_R (X ̅ )- E_R (Y ̅ )

PROPAGACIÓN DE ERRORES EN LA EVALUACIÓN DE FUNCIONES

1.- En una variable

Sea f:A∁R → B∁R ; una función continua y diferenciable en X y X^*

X →f(X)(=Y)

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