Metodos Numericos

ESQUEMA

• Introducción

1. Interpolación

• Métodos para Interpolar y/o Extrapolar:

a. Interpolación Lineal

b. Interpolación Cuadrática

c. Interpolación de polinomios de Newton

d. Interpolación de polinomios de Lagrange

2. Extrapolación

3. Aplicaciones de las interpolaciones en las Ingenierías

• Conclusión

• Bibliografía

INTRODUCCIÓN

Las interpolaciones no son más que una estimación entre valores que conocemos, para lograr obtener valores desconocidos que deseemos encontrar, siendo esta la función principal de las interpolaciones.

En la siguiente investigación les estaremos hablando acerca de las interpolaciones y los tipos de interpolaciones que hay como la lineal, cuadrática, y las interpolaciones que se dan entre algunos polinomios como lo es el de Newton y Lagrange, así como también hablaremos de las extrapolaciones en las cuales no nos enfocaremos tanto ya que muy poco las utilizaremos en esta materia.

Además mostraremos como se representa cada interpolación en graficas obtenidas entre los ejes “X” y “Y”.

También hablaremos acerca de algo muy importante que es la aplicación de las interpolaciones en la ingeniería mostrando así ejemplos que son relevante a algunas de ellas, y también su solución, para que así nosotros como nuestros compañeros puedan darse cuenta de lo esenciales que son en nuestra carrera.

Esta investigación la realizamos con el fin de que sea de mucha ayuda tanto para nosotros, como para nuestros compañeros y futuros investigadores y que puedan aprender de ella.

DESARROLLO

1. Interpolación:

A menudo hemos tenido la oportunidad de estimar valores intermedios entre datos precisos, de esto se tratan las interpolaciones de la estimación de valores intermedios a partir de los datos de una tabla, es decir, encontrar un valor de “Y” para un valor de “X” que se encuentra entre Xi y Xi+1, con i = 0,1,2,3 … n, n+1.

• Métodos para Interpolar y/o extrapolar:

a. Interpolación Lineal:

Esta interpolación se da solo cuando se tomen dos puntos, es decir es cuando en una grafica se conectan dos puntos con una línea recta. La fórmula de interpolación lineal es la siguiente:

b. Interpolación Cuadrática:

La interpolación cuadrática se da cuando se toman tres puntos de la grafica, por consiguiente se considera una estrategia para mejorar la estimación. La formula de interpolación cuadrática es la siguiente:

*Fórmula de 1er Orden:

*Fórmula de 2do Orden:

c. Interpolación de polinomios de Newton:

En la matemática campo de análisis numérico , un polinomio de Newton, el nombre de su inventor Isaac Newton , es la interpolación polinómica para un determinado conjunto de puntos de datos en el formulario de Newton. El polinomio de Newton se denomina a veces está dividida polinomio de interpolación de Newton diferencias porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando las diferencias divididas .

Para cualquier conjunto dado de puntos de datos, sólo hay un polinomio (de menor grado posible) que pasa a través de todos ellos. Por lo tanto, es más apropiado hablar de "la forma de Newton del polinomio de interpolación" más que de "el polinomio de interpolación de Newton." Al igual que la forma de Lagrange , es simplemente otra manera de escribir el mismo polinomio.

d. Interpolación de polinomios de Lagrange:

Es simplemente una reformulación del polinomio de Newton, que evita el cálculo por diferencias divididas, que busca encontrar una función que pase a través de n puntos dados. La fórmula de polinomios de Lagrange es la siguiente.

*Fórmula de 1er Orden:

*Fórmula de 2do Orden:

2. Extrapolación

Es el proceso de encontrar un valor en “Y” para un valor de “X” fuera del rango de los valores tabulados, lo que quiere decir que “X” estaría por debajo de X0 o por encima de Xn+1.

3. Aplicaciones de las interpolaciones en las Ingenierías

Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc., situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada.

El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico.

• Las interpolaciones en la Ingeniería hidráulica

La ingeniería hidráulica es una de las ramas tradicionales de la ingeniería civil y se ocupa de la proyección y ejecución de obras relacionadas con el agua, sea para su uso, como en la obtención de energía hidráulica, la irrigación, potabilización, canalización, u otras, sea para la construcción de estructuras en mares, ríos, lagos, o entornos similares, incluyendo, por ejemplo, diques, represas, canales, puertos, muelles, rompeolas, entre otras construcciones.

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