Metodos Numericos

ANALISIS DE ERROR.

1.1 Aproximaciones.

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número

Ejemplos:

3.1416 es una aproximación numérica de ,

2.7183 es una aproximación numérica de e,

1.4142 es una aproximación numérica de 2, y

0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

Definiciones y conceptos

Exactitud y precisión son términos que a manudo se utilizan de manera intercambiada, se integran al lenguaje coloquial sin mayor problema y casi siempre como calificativos positivos.

No es raro escuchar que un reloj de lujo es un mecanismo de precisión. Los aficionados a los superlativos no dudan en producir frases como de la mas alta exactitud.

En el análisis numérico se evitan los adjetivos y se sustituyen con números, de esa manera no hay métodos buenos o malos sino aquellos que cumplen o no con la función para la cual están destinados y esa función esta determinada por sus especificaciones matemáticas.

Exactitud:

La exactitud de una medición es la concordancia del resultado de la misma comparada con el valor verdadero del objeto que está siendo medido, es decir, cuando realizamos unas mediciones que tan cerca estamos del valor verdadero. Si estamos cerca somos más exactos que si estamos menos cerca. Precisión:

Es la capacidad de realizar medidas semejantes, esto es, lo cerca que los valores medidos están unos de otros. La precisión es un término relacionado con la confiabilidad de un instrumento, si un instrumento proporciona resultados similares cuando se mide un material de referencia de manera repetida, entonces el instrumento es preciso, sin cuestionar si es exacto o no.

Ejemplo: 1

Varias medidas son como flechas disparadas hacia un objetivo. La exactitud describe la

proximidad de las flechas al centro del objetivo. Las flechas que impactaron más cerca del centro se consideran más exactas. Cuanto más cerca están las medidas a un valor aceptado, más exacto es un sistema.

La precisión, en este ejemplo, es el tamaño del grupo de flechas. Cuanto más cercanas entre sí estén las flechas que impactaron el objetivo, más preciso será el sistema. Hay que notar que el hecho de que las flechas estén muy cercanas entre sí es independiente al hecho que estén cerca del centro del objetivo. En sí, se puede decir que la precisión es el grado de repetibilidad del resultado.

Exactitud baja,

Precisión alta Exactitud alta,

Precisión baja Exactitud alta,

Precisión alta

Ejemplo 2

Un reloj analógico (de manecillas) desplaza su minutero "sólo de minuto en minuto" y lo hace en absoluta sincronía con el horario oficial o "real" (que es el objetivo).

Otro reloj utiliza minutero, segundero e incluso está dotado de un sistema de medición de décimas de segundo, aún cuando observamos que su horario no coincide plenamente con el horario oficial o real (que sigue siendo el objetivo de todo reloj).

De lo anterior podemos concluir que el primer reloj es altamente exacto, aunque no sea preciso, mientras que el segundo, es altamente preciso, aunque no se muestra exacto. Al menos en nuestro ejemplo.

Idealmente un instrumento es exacto y preciso con medidas todas cercanas entre sí y a la

vez, cercanas al valor deseado.

La exactitud y precisión del proceso de medida son establecidas por la medida repetida de algún estándar de unidad de referencia que se pueda rastrear.

Tarea traer dos ejemplos de lo anterior.

Otro concepto importante es el de error, el cual es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.

En este orden de ideas, el error es la medida de la discrepancia entre el valor exacto y el que obtenemos mediante cálculos numéricos.

1.2 Tipos de errores

Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:

I. Aquellos que son inherentes a la formulación del problema y.

II. Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

Dentro del primer grupo se incluyen aquellos en los que la definición matemática

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