Principio fundamental de conteo
Enviado por alex007evolution • 10 de Marzo de 2015 • Trabajos • 1.741 Palabras (7 Páginas) • 868 Visitas
TÉCNICAS DE CONTEO.
Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de conteo, las cuales son:
1. Principio fundamental de conteo
2. Diagramas de árbol.
3. Análisis combinatorio.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
PERMUTACIONES.
NOTACIÓN FACTORIAL.
Antes de iniciar con el estudio de las permutaciones es necesario conocer el concepto de notación factorial, se llama factorial al producto de los enteros positivos desde uno hasta “n” y lo representamos con el símbolo n! (que se lee n factorial).
Así tenemos que:
0!=1
1!=1
2!=1x2=2
3!=1x2x3=6
4!=1x2x3x4=24
5!= 1x2x3x4x5=120
PERMUTACIONES.
La notación factorial la podrás realizar en tu calculadora, sólo busca el símbolo n! ó x!
Una permutación es una forma en la que pueden representarse los eventos, en la que el orden en que aparecen es muy importante; por ejemplo con los números 1, 2 y 3 se pueden hacer los siguientes arreglos; 123, 132, 231, 213, 312 y 321, cada uno de ellos es una permutación de los dígitos 1, 2 y 3 tomando los tres a la vez. Si sólo utilizamos dos de los tres dígitos tendríamos los siguientes arreglos; 12, 21, 13, 31, 23 y 32 y cada uno de ellos representa cantidades distintas entre sí.
Las permutaciones representan un arreglo ordenado de “r” objetos tomados de “n”, en donde r n.
La fórmula para hallar el número de permutaciones es la siguiente:
P n n!
r (n r)!
Donde:
n= número total de objetos.
r= es el número de objetos que se
desea considerar de los “n” disponibles.
La permutación la podrás realizar en tu calculadora, sólo busca el símbolo nPr.
Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8.
a) Si sólo se utilizan 2 de estos números.
b) Si sólo se utilizan 3 de estos números.
n n!
n n!
Pr
(n r)!
Pr
(n r)!
4 4!
4! = 1x 2x3x 4
3x 4 12
4 4!
4! = 1x 2x3x 4 24
2 (4
=
2)! 2!
1x2
3 (4
=
3)! 1! 1
Los arreglos serían: 24, 42, 46, 64, 68, 86, 26,
62, 28, 82, 48 y 84.
Los arreglos serían: 246, 264, 642, 624, 426, 462,
468, 486, 648, 684, 846, 864, 268, 286, 628, 682,
826, 862, 284, 248, 842, 824, 428, y 482.
Ejemplo 2.
La mesa directiva de una escuela está integrada por un presidente, un secretario y un tesorero; para ocupar estos puestos existen 8 candidatos y cada uno de ellos puede ocupar uno de estos cargos. Determinar el número de formas distintas como puede quedar
integrada la mesa directiva.
8 8!
8! 1x 2x3x 4x5x6x7x8
6x7x8
336
3 (8
3)! 5!
1x2x3x4x5
Formas distintas de ocupar los cargos.
Ejemplo 3.
En un bolsa hay 4 pelotas de esponja; 1 roja, 1 verde, 1 azul y 1 amarilla. Si se extrae de la bolsa 3 pelotas ¿De cuantas formas distintas, pueden aparecer?
4 4!
4! 1x 2x3x 4 24
3 (4
3)! 1! 1
Formas distintas de aparecer.
Permutaciones con repetición.
Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de “n” objetos de los cuales algunos de sus elementos son iguales, en este caso se utiliza la formula siguiente:
P n!
n1!n 2!n 3!
Donde:
n es el total de elementos del conjunto.
n1!, n2! y n3! Valores repetidos, diferentes.
¿Cuántas permutaciones diferentes pueden formarse con todas las letras de las siguientes palabras?
a) Roca.
Como todas las letras aparecen una sola vez entonces:
P n!
n1!n 2!n 3!
P 4! 24 24 (1)(1)(1)(1) 1
.
b) Campanario.
Como la letra a se repiten 3 veces a→ n1=3
P n! = 10! = 1x 2x3x 4x5x6x7 x8x9x10
4x5x6x7x8x9x10
604,800 permutaciones.
n1!n 2!n 3! 3!
1x 2x3
c) Estadísticas.
Como la letra a se repite 2 veces a→n1=2, la letra s se repite 3 veces s→n2=3, la letra t se repite 2 veces t→ n3=2 y la letra i se repite 2 veces i→n4=2.
P n!
n1!n2!n3!n4!
12! (2!)(3!)(2!)(2!)
1x2 x3x4...x12 (2)(2)(2)(3!)
739,833,600
8
9,979,200 Permutaciones.
...