Punto 4 Trabajo Col 3 Algebra Geometria Analitica

Punto 4 trabajo col 3

9x² + 24x + 72y + 16 = 0

(9x² + 24x + 16) + 72y = 0

(3x + 4)² + 72y = 0

(3x + 4)² = -72y

sacamos factor común 3 en el binomio al cuadrado:

{ 3[ x + (4/3) ] }² = -72y

aplicamos propiedades de las potencias:

3²•[ x + (4/3) ]² = -72y

9[ x + (4/3) ]² = -72y

[ x + (4/3) ]² = -72y / 9

[ x + (4/3) ]² = -8y

[ x + (4/3) ]² = -8(y - 0)

[ x - (-4/3) ]² = -8(y - 0)

La ecuación ya está en la forma canónica. Como las "x" son las que están elevadas al cuadrado, deducimos que la parábola es vertical; y como el coeficiente de las "y" es negativo, deducimos que abre sus ramas hacia abajo.

La ecuación es de la forma

(x - h)² = -4p(y - k)

donde el vértice está en (h, k). En nuestro caso se encuentra en (-4/3, 0).

El coeficiente de las "y" es la longitud del lado recto (en valor absoluto, claro), por lo tanto en este caso medirá 8 unidades.

El valor de "p" es la distancia que hay del foco al vértice:

-4p = -8

4p = 8

p = 8/4

p = 2

Como habíamos dicho anteriormente, la parábola tiene su vértice en (-4/3, 0) y abre sus ramas hacia abajo, por lo tanto el foco estará "p" unidades "por debajo" del vértice, con la misma coordenada "x" de este. Así, el foco se encuentra en

(h, k - p) = (-4/3, 0 - 2) = (-4/3, -2)

Como la parábola es vertical, la recta directriz es horizontal y estará "p" unidades "por encima" del vértice:

y = k + p

y = 0 + 2

y = 2 . . . . ecuación de la directriz

El eje de simetría está en

x = -4/3

que es la coordenada "x" del foco y del vértice (por ser una parábola vertical).

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