Teorema De Los Residuos.

Teorema de los residuos.

Aplicaciones.

9.1 INTRODUCCIO´ N

Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminaci´on de lo que hemos

encuadrado bajo el nombre gen´erico de ‘teor´ıa global de Cauchy’. Incorpora y

extiende al teorema de Cauchy y a la f´ormula de Cauchy, y tiene innumerables

consecuencias te´oricas y pr´acticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales

reales y sumas de series, limit´andonos a se˜nalar referencias donde encontrar

el tema desarrollado en detalle.

La primera aplicaci´on te´orica que presentamos se refiere a la localizaci´on

de ceros, en la que tratamos de averiguar el n´umero de ceros de una funci´on en

un subconjunto de su dominio. Los resultados b´asicos en esta direcci´on son el

denominado principio del argumento y el teorema de Rouch´e.

De aqu´ı pasamos al estudio del comportamiento local de una funci´on anal´ıtica,

viendo su analog´ıa con el de la funci´on zm en torno al 0, en el sentido que se

precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicaci´on abierta y alguna de

sus aplicaciones, y finalizamos el cap´ıtulo con una versi´on global y otra local del

teorema de la funci´on inversa, llegando a una representaci´on integral de esta inversa

que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor.

Referencias b´asicas:

— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).

— Mitrinovi´c, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966).

— Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New

York (1991).

— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).

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Teorema de los residuos. Aplicaciones. 135

9.2 PRO´ LOGO: RESIDUOS

Agazapada en el teorema de Laurent hay una informaci´on importante. Por lo que

vimos en su demostraci´on, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a,

γ

f (z) dz = 2πi a−1,

donde a−1 es el coeficiente de (z − a)

−1 en el desarrollo en serie de Laurent de

f y γ = ∂D(a; r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi )

es, pues, “el ´unico vestigio”, el residuo que deja la funci´on al ser integrada sobre

una “peque˜na” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este

nombre.

Definici´on 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f . Recibe el

nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie

de Laurent de f en el punto a, de manera que si

f (z) =

∞

n=−∞

an(z − a)n, z ∈ D(a; 0, R),

y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es

Res( f ; a) = a−1.

En el punto del infinito la definici´on es ligeramente distinta:

Sea f una funci´on con una singularidad aislada en∞, y sea

f (z) =

∞

n=−∞

an zn

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R,+∞). Llamaremos

residuo de f en el infinito al n´umero

Res( f;∞) = −a−1

(coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo).

¿Qu´e hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento,

sabemos que su valor es lo ´unico que necesitamos conocer a la hora de calcular la

integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

i

–i

–2 –1 1 2

136 Teorema de los residuos. Aplicaciones.

ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones

m´as complicadas.

Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como



Log(z + 2) z3 ctg πz

(1 − cos 2πz) (z2 + 1)

dz,

donde  es el ciclo contenido en  = D(0; 2) formado por los caminos que se

indican en la figura.

Horrible, ¿no es cierto? “¿Qu´e

es lo mejor que podemos hacer para

resolver este problema? Dejarlo e

inventar otro”, como recomienda el

“profesor tradicional de matem´aticas”

en el retrato que de ´el hace P´olya.

Vamos

...