Vectores En R2 Y R3

VECTORES EN R²

Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.

Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.

VECTOR EN R2

Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a₁, a₂), y la representación a = (a₁, a₂). La magnitud |a| de a está dada por

lal=²√(a₁² + a₂²)

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que

Suma de vectores

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = ((u1+v1),(u2+v2))

Gráficamente, se obtiene u + v trasladando el origen de v al extremo de u. El vector suma, cuyas componentes son (u1+v1, u2+v2) tiene por origen el origen de u y por extremo, el extremo de v.

Desde otro punto de vista, la suma u + v está dada por la diagonal del paralelogramo que forman u y v con sus pares paralelos, cuyo origen es el origen común.

El primero de los criterios de suma gráfica puede extenderse a la suma de más de dos vectores.

Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo: u – v = u + (-v) Gráficamente, u - v es equivalente al segmento orientado cuyo origen es el extremo de v y su extremo es el extremo de u se aprecia que v + (u-v) = u

Distancia entre dos vectores

La distancia entre u y v debe interpretarse como la distancia entre sus extremos, cuando están aplicados en un mismo origen. Tendremos en cuenta que podemos representar los elementos de R2 como vectores o como puntos del plano.

En el gráfico anterior se aprecia que la distancia entre los extremos de u y de ves | u – v |.

Esto resulta práctico para determinar distancias entre puntos del plano, y el concepto puede extenderse a R3

Ejemplo:

Sean p1 = (-2, 7) y p2 = (-6, 4)

Determinar la distancia entre ambos puntos.

Basta considerar a los puntos como vectores: D p1p2= | p1-p2| = | 4, 3 | = 5

Producto de un vector por un escalar Sea α ∈ R y v ∈ R2: α v = (α v1, α v2) |α v | = |α | | v | ya que |α v | = + √ (α v1)2 + (α v2)2 = + √ α2 (v12 + v22 ) = |α | |v |

La dirección de αv no varía si α ≠ 0:

Sean θ y θ’ los ángulos que definen las direcciones de v y αv respectivamente

a) Si v1 = 0 y v2 ≠ 0 ⇒ α v1 = 0 y α v2 ≠ 0 ⇒ θ = θ’ = π/2

b) v1 = v2 = 0 es el vector nulo y α v también

c) v1≠ 0 ⇒

El sentido se invierte si α < 0, ya que en ese caso | α |v tiene igual sentido que v y αv y | α | v son opuestos entre sí

Vector unitario definido por el ángulo α formado con el eje positivo de las abscisas.

Sea 0 ≤ α < 2π

En la circunferencia de radio unitario están inscriptos todos los vectores unitarios de R² (Su distancia al origen es 1) Dado un α que defina dirección y sentido, el vector unitario v´ correspondiente es: v´ = cosα i + senα j

Vectores canónicos

Son vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados, de sentido según el sentido positivo de dichos ejes. i = (1, 0) j = (0, 1)

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores (producto punto) es el número Real determinado

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