Solución De Ecuaciones Diferenciales (valor Inicial).

Solución de Ecuaciones Diferenciales (valor inicial).

Introducción

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucran cambios descritos por las ecuaciones de diferenciales ya que relacionan cantidades que cambian.

Las ecuaciones diferenciales son el tipo de ecuaciones que surgen en diversas aplicaciones además de áreas de matemáticas e ingeniería.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

En consecuencia es necesario hacer uso de los métodos numéricos para encontrar la solución de algunas ecuaciones diferenciales que es muy difícil o casi imposible que se resuelvan de forma analítica.

Por los motivos antes descritos en el presente trabajo de investigación se desarrollan los métodos numéricos más usuales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Los cuales se serán desplegados de la manera más sencilla posible para que el lector pueda comprender en su máximo esplendor como es que se resuelve una ecuación diferencial con ayuda de métodos que se basan en pequeñas formulas las cuales después de hacer varias iteraciones te llevan a resultados muy buenos o casi perfectos a la respuesta deseada. También se podrá observar que aumentando la complejidad del método utilizado aumentara también la exactitud de nuestro resultado.

Solución de Ecuaciones Diferenciales (valor inicial).

Fundamentos

Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.

Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en élla.

Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,

, debemos conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación. Los métodos que vamos a estudiar son: Integración directa, Separación de variables, Factor de integración, Sustitución apropiada. Pero, antes de entrar de lleno a solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a tratar algunos conceptos importantes.

Integración directa

La ecuación diferencial de primer orden y' = f (x, y) toma una forma particularmente simple si en la función f no aparecen términos con y:

En este caso, para hallar la solución general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obteniéndose:

Métodos de un paso.

Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto.

Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber, yi, yi-1,..., yi-m+1 para calcular yi+1. Por ejemplo, en un método de tres pasos para calcular yi+1 , se necesita conocer yi, yi-1, yi-2.

El principio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)).

El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolante nos determina el grado del polinomio. Por ejemplo, si se consideran tres puntos previos, el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntos previos, el polinomio es cúbico.

Método Euler y Euler Mejorado

Método de Euler

El método de Euler consiste en aproximar la derivada por la fórmula de dos puntos

con lo que obtenemos la relación de recurrencia

y(x + h) = y(x) + h f (x, y)

Converge en orden O(h), por

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