Tecnicas De Conteo Estadistica

TÉCNICAS DE CONTEO

¿Qué son técnicas de conteo?

Son aquellas donde se desarrollan métodos para determinar sin tener que numerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de los elementos de un conjunto en particular, también se le conoce como análisis combinatorio.

TIPOS DE CONTEO

Permutaciones

Permutación simple:

Llamamos permutación simple a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de un determinado conjunto.

Por ejemplo, si tenemos A, B y C, cada ordenación posible de estos elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "A, B, C"; "A, B, C"; "B, A, C”; "B, C, A"; "C, A, B" y "C, B, A".

El número de permutaciones de n objetos distintos, denotado por o , es igual al número de variaciones de n objetos tomados de n objetos distintos y está dado por:

Una variación de k objetos tomados de n objetos distintos, es también una permutación de k objetos de n. El total de permutaciones de k objetos tomados de n objetos distintos es denotado por:

Ejemplo 01:

¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 5 computadoras mediante cables de red a un router en el que pueden colocarse precisamente 5 equipos?

Utilizando simplemente la fórmula tenemos: 5! maneras = 120 maneras.

Ejemplo 02:

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar un grupo de 7 alumnos de Ingeniería de Sistemas(A, B, C, D, E, F, G) en un laboratorio de cómputo de manera que A y E no aparezcan juntos?

Primero se ordenan todos los elementos sin restricción = 7! formas. En seguida se ordenan todos los elementos donde A y E aparecerían juntos, considerándolos como un solo elemento (por lo cual ahora tendríamos 6! formas) y usando las maneras en que podrían aparecer juntos, (es decir 2!formas: AE y EA) = 8!2!formas. Finalmente el total de ordenamientos de alumnos donde A y E no aparecen juntos es de: 7! – 2!6! formas.

En general, el número de formas diferentes de ordenar n objetos de manera que k (donde k < n) de ellos no estén juntos es:

n! – k! (n – k + 1 )!

Permutación circular:

Se denominan permutaciones circulares a los diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni último objeto, ya que todos forman un “círculo” ( o cualquier otra figura geométrica plana cerrada). El total de permutaciones “circulares” diferentes que pueden formarse con n objetos distintos es:

Ejemplo 01:

¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse 6 computadoras alrededor de una mesa elipsoidal, de manera que dos de ellas deben estar juntas compartiendo un cable de red?

Se consideran a las dos computadoras que deben permanecer juntas como una sola. Entonces hay 5 que se colocarán alrededor de la mesa, por lo cual hay 4! formas. Las 2 computadoras juntas pueden ordenarse de 2! formas.

Entonces, el número de ordenamientos con la condición dada es igual a 4!2! = 48 maneras.

I.1.3 Permutación con elementos repetidos:

El número de permutaciones de n objetos de los cuales son iguales entre sí, son iguales entre sí,…, es:

Ejemplo 01:

El número de formas de permutar, en el monitor de una computadora, 10 puntos de los cuales 2 son azules, 3 son negros y 5 son blancos, es:

P_2,3,5^10= 10!/2!3!5!=2520 maneras

Combinaciones

Combinaciones Simples:

Se denominan combinaciones de k objetos tomados de n objetos dados a cada selección que podamos hacer de k objetos de los n dados, sin tener en cuenta el orden de los mismos y de manera que no pueden haber dos combinaciones con los mismos elementos.

Determinar todas las combinaciones de k objetos, a parir de n objetos distintos es obtener todos los subconjuntos de k objetos de los n dados.

Ejemplo 01:

Las combinaciones que resultan de escoger 2 programas de un grupo de 3 (A, B, C) para instalarlos en una computadora, son:

AB, AC, BD = 3 combinaciones

El número de combinaciones de orden k que se pueden formar a partir de n elementos distintos será:

=

Este número, proviene de la identidad:

(K!)

Esto es, es el número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos distintos. Los objetos de cada combinación se ordenan de k! formas. Pero, el número k! es igual al número de variaciones de k objetos tomados de n objetos distintos.

Ejemplo 02:

¿Cuál es el número de combinaciones que resultan de tomar un grupo de 7 alumnos de un aula de 20 estudiantes de ingeniería de sistemas para asistir a un concurso de programación?

C_7^20=20!/7!(13)!=465120 combinaciones

El número combinatorio satisface las siguientes propiedades:

=

El número también se interpreta como el número de formas diferentes de dividir o partir n objetos distintos en dos grupos, uno de k objetos y el otro de n-k objetos. También es el número de formas diferentes de ordenar n objetos de los cuales k son iguales y n-k son otros iguales.

En general el número de formas de dividir n objetos en r grupos de objetos (no diferenciados entre sí), con i = 1, 2,…, r, donde , es dado por la expresión:

I.2.2 Combinaciones con repetición:

El número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, de manera que dos, tres,…, k objetos pueden ser uno mismo, está dado por:

Ejemplo 01:

Se compran 20 impresoras similares, de las cuales 10 están en buenas condiciones, 5 tienen defectos del tipo A, 2 tienen defectos del tipo B y 3 tienen de los dos tipos de defectos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de escoger al azar 11 computadoras de manera que 2 tengan defectos A y B, 3 tengan sólo el tipo de defecto A, 2 tengan solo el tipo de defecto B y 4 estén en buenas condiciones?

Variaciones

Variaciones simples

Se denomina variaciones simple o sin repeticiones o simplemente variaciones de “n” objetos tomados de “m”

...