Complejidad Np

COMPLEJIDAD NP

NP-Completitud

Reducción polinomial

Una reducción es una transformación de un problema en otro problema. Intuitivamente, un problema Q puede ser reducido a otro problema Q', si cualquier instancia del problema Q puede ser "fácilmente" expresada como una instancia del problema Q', y cuya solución proporcione una solución para la instancia de Q.7

Existen muchos tipos de reducciones: basadas en el método de reducción, como las reducciones de Cook, las reducciones de Karp y las reducciones de Levin, y las basadas en la cota de la complejidad, como la reducción en tiempo polinomial o la reducción de espacio logarítmica. Una de las reducciones más utilizadas es la reducción en tiempo polinomial, lo cual significa que el proceso de reducción toma un tiempo polinomial.

Problemas NP-completos

Las reducciones en tiempo polinomial nos dotan de elementos para probar, de una manera formal, que un problema es al menos tan difícil que otro, con una diferencia de un factor polinomial. Estas son esenciales para definir a los problemas NP-completos, además de ayudar a comprender los mismos.

La clase de los problemas NP-completos contiene a los problemas más difíciles en NP, en el sentido de que son los que estén más lejos de estar en P. Debido a que el problema P=NP no ha sido resuelto, el hecho de reducir un problema B, a otro problema A, indicaría que no se conoce solución en tiempo polinomial para A. Esto es debido a que una solución en tiempo polinomial para A, tendría como consecuencia la existencia de una solución polinomial para B. De manera similar, debido a que todos los problemas NP pueden ser reducidos a este conjunto, encontrar un problema NP-completo que pueda ser resuelto en un tiempo polinomial significaría que P=NP.

Importancia de la NP-Completitud

Quizás la razón de mayor peso por la cual los científicos de la computación creen que P es distinto de NP, es la existencia de la clase de problemas "NP-completos". Esta clase tiene la curiosa propiedad de que si algún problema NP-completo puede ser resuelto en tiempo polinomial, entonces todo problema en NP tiene una solución en tiempo polinomial, es decir, P=NP. A pesar de años de estudio, ningún algoritmo de tiempo polinomial se ha descubierto para ningún problema NP-completo.

Desde el punto de vista teórico, un investigador intentando mostrar que la clase P es distinta de la clase NP, pudiera enfocarse en un problema NP-completo. Si algún problema en NP requiere más que un tiempo polinomial, entonces uno NP-completo también. Además, un investigador intentando demostrar que P=NP, solo necesita encontrar un algoritmo de tiempo polinomial para un problema NP-completo para lograrlo.

Desde el punto de vista práctico, el fenómeno de la NP-completitud puede prevenir la pérdida de tiempo cuando se busca un algoritmo de tiempo polinomial no existente para resolver

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