Factorizacion Y Sus Procesos

Completación de cuadrados. En esta oportunidad vamos a explicar la técnica de completación de cuadrados, técnica útil en varias áreas de las matemáticas, (resolución de ecuaciones de 2do grado, cálculo integral, transformadas de laplace, etc.).

Para comprender mejor este método, nos enfocaremos primero en las ecuaciones del tipo

Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones. Los siguientes pasos van a estar enfocados en expresiones cuadráticas de la forma x^2 + bx + c = 0, o sea, cuando el coeficiente a = 1. En los ejemplos posteriores a estos pasos se mostrará como trabajar cuando a≠1. Es sencillo, así que no te preocupes.

Pasos para realizar la completación de cuadrados.

• Se selecciona el valor absoluto del término b, es decir, aunque este término sea negativo siempre lo tomaras positivo.

• Divides este término por 2 y a esa expresión la elevas al cuadrado. Ejemplo (b/2)^2.

• Suma y resta este nuevo término a la expresión dada.

• El primer término agregado se simplifica, osea, se simplifica la fracción que está dentro del paréntesis siempre y cuando esto sea posible, el segundo término se desarrolla.

• A los tres primeros términos se le completa cuadrado, a los dos últimos se le realizan operaciones.

• Para completar cuadrados se procede como sigue; se le calcula la raíz cuadrada al primer término, luego coloca el signo del término b, seguido de la raíz cuadrada del tercer término, que justamente va ser la expresión simplificada dentro del paréntesis. Toda esta expresión que calculaste se eleva al cuadrado.

• Ambas expresiones, la resultante de los tres primeros términos y la de los dos últimos será tu completación de cuadrados.

ejemplo 1, si a=1

se procede de la siguiente manera:

Ejemplo 2, si a≠1.

En este caso es necesario extraer el coeficiente del término cuadrático, aunque este no sea factor común de la expresión.

Ejemplo 3, si a≠1.

En esta última expresión debemos advertir que la fracción no se puede simplificar como en los casos anteriores, a demás, recuerde que dividir por dos es igual a multiplicar por 1/2.

Entonces (8/3)*(1/2) = 4/3

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado pararesolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmulacuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despejapara la variable.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) x2 - 4x = 0

2) x2 - 4x = 12

3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1) x2 - 9 = 0

2) 2x2 - 1 = 0

3) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadradoperfecto cuyos dos primeros términos son

x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a amboslados de la ecuación.

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