HERRAMIENTAS DE LA PRODUCTIVIDAD

.- Elabore y Detalle Esquemáticamente la Relación o Complementariedad Conceptual

Entre La Ciencia Administrativa y las Matemáticas Aplicadas. Señale Ejemplos;

2.- Defina el Concepto de Sistema de Ecuaciones Lineales y Soluciones Gráficas.

Grafique Tres (03) ejemplos

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

3.- Defina el Concepto y Tipos de Funciones Matemáticas y su Representación Gráfica.

Grafique las Funciones de Oferta, Demanda y del Punto de Equilibrio de Ambas.

Función: Es una relación o correspondencia binaria (es decir, entre dos magnitudes), de manera que a cada valor de la primera, le corresponde un único valor de la segunda.

Tipos de funciones

Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

Función lineal

Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:

Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada.

El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

Función Cuadrática

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

Función Exponencial

La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo números reales, . Se observa en los gráficos que sila curva será creciente.

4.-Detalle Conceptualmente Diez (10) Ejemplos de Aplicaciones de Funciones

Matemáticas en Actividades Empresariales de Producción y Servicios

Por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

2.-Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

.

3.-Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

4.-La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

5.-Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

6.-En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

7.-Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

En la química, el PH de es la concentración deH+, donde H+una sustancia se define como : H = -Log iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

8.-En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).

9.-En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

10.-La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina, la química y otras disciplinas.

Con el objetivo de combatir una enfermedad, un médico ha indicado a su paciente una medicación que deberá ser inyectada durante 15 días de la siguiente forma: primer día se aplica la dosis máxima de 100 ml, cada día siguiente se aplica 4/5 de la dosis correspondiente al día anterior. ¿Cuál es la dosis indicada para el día 10? - ¿Cuánto medicamento (en ml) se le ha inyectado al paciente a los 15 días? - Da una función que describa la cantidad de medicamento inyectado luego de x días y grafícala aproximadamente. Ecuación exponencial

El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación:

y = 100x5-0,5t , t ≥ 0

¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo? ¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 4 horas de ingerido?

5.- En los Siguientes Pares de Ecuaciones, Determine y Grafique Cuál Corresponde a la

Curva de Demanda y Cuál a la de Oferta:

(a) x = 16 – 2y;

X 0 16

y 8 0

0=16-2y -2y=-16  y=8

X=16-2(0)  x=16

X=16-2y

Curva de la demanda

(b) 4x = 4y + y2

Y2+4y=4x  (y+2)2=4x+4  (y+2)2=4(x+1)

Punto de quiebre de la parábola (-2;-1)

(y+2)2=4(x+1) Curva de la oferta

x = 10y + 5y2  5y2+10y=x  (y+1)2=1/5(x+5)

(y+1)2=1/5(x+5)

Curva de la oferta Punto de quiebre de la parábola (-5;-1)

(b) x = 64 – 8y – 2y2  -2y2-8y+64=x  2y2+8y-64=-x  (y+2)2=-1/2(x-72)

(Y+2)2=-1/2(x-72)

Curva de la demanda

Punto de quiebre de la parábola (72;-2)

(a) x = 3y2 – 3y – 2  3y2-3y=x+2  (y-1/2)2=1/4(4x+9)

(y-1/2)2=1/4(4x+9)

Curva de la demanda

Punto de quiebre de la parábola (-9/4;1/2)

(b) x = 10 – y2 – y

6.-El Departamento de Mercadeo Ha Concluido que Puede Vender 126 Unidades de un

Producto Diariamente y Solicita a Producción que los Elabore.

Asumiendo que Todos los Factores a Excepción del Número de Empleados y

Producción Final Permanecen Constantes; la Función de Producción se Puede

Expresar Mediante la Ecuación: 2x2 + 4x – y = 0; Dónde “x” = nº de Empleados e

“y” = Unidades Producidas.

Identificar y Graficar el Tipo de Curva de la Ecuación;

2x^2+4x-y=0

〖(x+1)〗^2=1/2(y+2)

Se trata de una parábola con punto de giro en las coordenadas (-1;-2)

Determinar el Nº de Empleados Necesarios;

Y=126  〖(x+1)〗^2=((y+2))/2 〖(x+1)〗^2=((126+2))/2  x= 7

El número de empleados necesario son 7

c) Construir una Tabla de Valores que Indique el Incremento de Unidades Producidas

Por Cada Empleado; (03 Puntos).

X 1 2 3 4 5 6 7

Y 6 16 30 48 70 96 126

7.- En una Reunión de Gerencia, la Administración Expone que en un Intervalo Pequeño

el Costo de Producción Puede Expresarse Mediante la Ecuación: x2 – 16 – y + 68 = 0;

Dónde “x” Representa el nº de Unidades Producidas e “y” el Costo Promedio por

Unidad.

Identificar y Graficar el Tipo de Curva de la Ecuación;

X= Nº de unidades producidas

Y = Costo promedio por unidad

x^2-16x-y+68=0

...