ALGEBRA: CONJUNTOS

EJERCICIOS.

I. En un universo de 30 elementos, se consideran los conjuntos A y B tales que:

n (B – A) =8, n (A)= 15, n (B)= 17

• Determinar:

a. n(A ∩ B)

b. n (Bc ∩ A)

• Datos:

- n (B-A)= 8

- n (A)= 15

- n (B)= 17

- n (U)= 30

a) Usando la fórmula de cardinalidad tenemos:

n (B-A) = n (B) – n (A ∩ B)

8 = 17 - n (A ∩ B)

9 = n (A ∩ B)

Entonces, en el diagrama de Venn queda reflejado asi:

Con esto deducimos que n (A ∪ B)c = 7

b) El complemento de B es (A ∪ B)c + (A-B) (13 elementos).

n (A ∪ B)c + n (A) – n (A ∩ B) = n (Bc)

7 + 15 - 9 = n (Bc)

13 = n (Bc)

Como (A-B) ⊂ (Bc), su intersección es igual a (A-B).

entonces:

n (BC ∩ A) = n [(U) – n (A ∪ B)c] – n (B)

n (BC ∩ A) = n (U) – n (A ∪ B)c – n (B)

n (BC ∩ A) = 30 - 7 - 17 ∴ n (BC ∩ A) = 6

II. Se encuestó a 70 personas sobre sus preferencias con respecto a dos productos, A y B. Los resultados fueron: 45 no consumen el producto A, 30 no consumen el producto B y 35 de ellos consumen A o B pero no ambos.

• Determinar la cantidad de encuestados que consumen ambos productos.

Datos:

- n (U)= 70

- n (AC)= 30 n (A)= 25

- n (BC)= 30 n (B)= 40

- n [(A ∪ B) – (A ∩ B)] = 35

Con el último dato podemos desarrollar, de acuerdo a la fórmula N°6 del capítulo de cardinalidad, la siguiente ecuación:

n [(A ∪ B) – (A ∩ B)] = 35

n (A ∪ B) – n [(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)] =35

n (A ∪ B) – n (A ∩ B) =35

n (A) + n (B) – n (A ∩ B) – n (A ∩ B) =35

25 + 40 - 2n (A ∩ B) = 35

- 2n (A ∩ B) = - 30

n (A ∩ B) = 15

Lo representamos asi:

Con esto damos repuesta a la pregunta de este ítem, son 15 personas las que optan por ambos productos.

III. Se encuesta a un total de 45 alumnos en una escuela, con respecto a la práctica de tres deportes: Fútbol, Básquetbol y Vóleibol.

Los resultados fueron los siguientes:

24 practican fútbol; 25 practican básquetbol y 19 practican vóleibol; 9 practican fútbol y básquetbol; 8 practican fútbol y vóleibol; 11 practican básquetbol y voleibol; 5 practican los 3 deportes.

Teniendo en cuenta los datos mencionados, respondan a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos alumnos no practican deportes?

b. ¿Cuántos alumnos sólo practican fútbol?

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