APLICACION DE ESPACIOS VECTORIALES
Enviado por ivonneorea • 19 de Mayo de 2013 • 2.015 Palabras (9 Páginas) • 3.170 Visitas
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE
TEZIUTLÁN
INTRODUCCIÓN
En esta investigación hablaremos de algunas aplicaciones que tienen los espacios vectoriales, así como también algunos teoremas relacionados a dicho tema, al igual que aplicaciones lineales derivadas de estos espacios.
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
DESARROLLO
ESPACIOS VECTORIALES
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Axiomas de un espacio vectorial
Teorema 1
Sea V un espacio vectorial. Entonces
Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar denidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.
Teorema 2
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V , es suficiente vericar que:
La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece que se le mencione explícitamente.
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.
Este hecho con frecuencia facilitará ver si un subconjunto de V en particular no es un subespacio es un subespacio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V.
Teorema 3
Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H1 ∩ H2 es un subespacio de V.
Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal
Definición 1 Combinación Lineal. Sean v1, v2,…, vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:
Definición 2 Conjunto Generador. Se dice que los vectores v1,v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo v ∈ V , existen escalares a1, a2,…, an tales que:
Un espacio vectorial sobre un cuerpo es un conjunto no vacío sobre el que se definen 2 operaciones internas y 8 propiedades inherentes, a saber:
(Cerradura bajo la operación de dos elementos de)
(Cerradura ante de un elemento del cuerpo y un elemento de )
• Propiedad Conmutativa
• Propiedad Asociativa
• Existencia de elemento neutro ante
• Existencia de elemento opuesto ante
• Propiedad Asociativa
,
• Propiedad distributiva para la operación (+) entre escalares
,
• Propiedad distributiva para la operación entre elementos de
• Existencia de elemento neutro ante la operación
Ejemplos
1. es un espacio vectorial sobre
En efecto:
Teorema 4
Si v1, v2,…,vk son vectores en un espacio vectorial V , entonces gen{v1, v2,…, vk} es un subespacio de V .
Teorema 5
Sean v1, v2,…., vn, vn+1, n + 1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v1, v2,…., vn genera a V, entonces v1, v2,…, vn; vn+1, n + 1 también genera aV. Es decir, si se agregan uno, o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.
Aplicaciones lineales
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación es lineal si:
,
APLICACIONES
-. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia
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