Aplicacion

Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2 + y2 = C

SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 2 x 2 + y 2 = C (1)

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.

Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta

4 x + 2 y y' = 0 (2)

Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado.

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x 2 + y 2 = C

Para ello, basta con sustituir y' en la ecuación (2) por , resultando

4 x + 2 y = 0

equivalentemente,

2 x y' - y = 0

Despejando y'

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y' dx, sustituyendo y' se tiene

dy = dx (3)

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (3) por

dy = dx

integrando

(4)

Ambas integrales son inmediatas

= + k1

= + k2

Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4)

2 ln | y | = ln | x | + k3

aplicando propiedades de logaritmo

ln y2 - ln | x | = k3

esto es

ln = k3

aplicando e a ambos lados de la ecuación

y 2 = k x (5)

La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2x 2 + y 2 = C

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