El operador derivada surge ante la necesidad de dar una respuesta a dos preguntas fundamentales.
Enviado por lineymax09 • 26 de Marzo de 2017 • Resúmenes • 3.455 Palabras (14 Páginas) • 367 Visitas
INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA
El operador derivada surge ante la necesidad de dar una respuesta a dos preguntas fundamentales.
¿Cómo calcular la pendiente de la recta tangente en un punto de una curva?
¿Cómo calcular la velocidad y la aceleración de una partícula en un punto determinado?
Ambas preguntas, llevaron a que dos grandes matemáticos el Inglés Isaac Newton (1642 – 1727) y el Alemán Gottfried Leibniz (1646 – 1716), se dieran a la tarea de buscar una respuesta que proporcionara resultados a tan interesantes interrogantes, respuesta que los condujo a la obtención de la derivada de una función, que como operador posibilitó grandes desarrollos a la ciencia y a otras áreas propias del saber humano.
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Los conceptos y nociones de la geometría, fueron pilares fundamentales, para que a partir de construcciones, se llegue a la relación entre la pendiente de la recta tangente y la derivada de una función.
Paso 1: Pendiente de la recta secante a la curva [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
La recta secante que corta a la curva de [pic 4] en los puntos [pic 5], se obtiene a partir del triángulo rectángulo [pic 6]
B[pic 7][pic 8]
[pic 9]
A C
[pic 10]
La expresión [pic 11], se le denomina Razón de Cambio Promedio, ya que se obtiene a partir de dos puntos [pic 12]
Razón de cambio Promedio: Es el cambio que se presenta en una función [pic 13], cuando la variable independiente pasa de un valor inicial, a un valor final incrementándose h unidades.
[pic 14] = Valor final – Valor inicial = ∆x (Se lee “Delta de x” o Delta x”)
Conclusión: Hallar la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A y B, es calcular la Razón de Cambio de la función [pic 15], cuando la variable independiente se incrementa h unidades
Paso 2: Hacer que el punto [pic 16] se aproxime al punto [pic 17] a través de la curva, hasta que el incremento [pic 18]sea tan pequeño, de tal forma que se genere en dicho movimiento el siguiente límite.
[pic 19] y por lo tanto la secante deje de serlo, para ser tangente
a la curva en el punto A (Ver Gráfico)
[pic 20]
Si [pic 21] existe, se le denomina Razón de Cambio Instantánea de la función [pic 22]
La Razón de cambio Instantánea se determinó como la Derivada de la función inicial [pic 23]
[pic 24]
Razón de Cambio Promedio (R.C.P) y Razón de Cambio Instantánea (R.C.I) de una función [pic 25]
Razón de Cambio Promedio [pic 26] | Razón de Cambio Instantánea o derivada de la función [pic 27] |
Ejemplo 1: Hallar la Razón de Cambio Promedio para la función [pic 28]
Solución: Para obtener la R.C.P apliquemos los siguientes pasos:
Paso 1. Calculamos la diferencia de [pic 29]
Si [pic 30] entonces [pic 31]
Se aplicó
[pic 32][pic 33][pic 34]
Luego [pic 35] [pic 36]
=[pic 37]
= [pic 38]
Nota: Al Calcular [pic 39] y las función es polinómica, se nos cancela aquellos términos que no se hallan acompañados del incremento h.
Paso 2: Calculamos el cociente [pic 40]
[pic 41][pic 42][pic 43]
[pic 44] [pic 45]
Luego la R.C.P = [pic 46]
¿Cuál es la Razón de Cambio Promedio si x cambia de x = 2 a x = 7?
Solución: Para realizar el cálculo, debemos hallar el incremento que se presentó para la variable x.
[pic 47]
[pic 48]
Ahora sustituimos a x por su valor inicial (x = 2) y h por su incremento h = 5 en la razón de cambio obtenida.
R.C.P = [pic 49]
EJERCICIOS
- Halle la razón de cambio promedio para las siguientes funciones entre los valores indicados.
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
- Halle la ecuación de la recta secante para los ejercicios [pic 54] del numeral 1.
- Halle la razón de cambio Instantánea o derivada de la función, aplicando el límite especial para cada una de las siguientes funciones.
[pic 55]
[pic 56]
4. Determine la ecuación de la recta tangente para cada una de las funciones, en el valor indicado del numeral 3.
Aplicaciones de la Razón de Cambio Promedio (R.C.P). Estas son algunas aplicaciones de la Razón de Cambio Promedio
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